miércoles, 9 de febrero de 2011

Diálogo (2º parte)

(Viene del diálogo anterior.)

F: ¿Y dónde queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?
G: Cuando planteé en esta entrada la analogía entre el movimiento del alfil y la cuadratura del círculo, imaginaba un único alfil en un tablero de ajedrez, sin otras piezas presentes. Bajo ésas condiciones, si el alfil es movido según las reglas del ajedrez, nunca podrá pasar de una casilla blanca a una negra.

F: ¿Y eso demuestra que la cuadratura del círculo es imposible?
G: No, definitivamente no lo demuestra. Es sólo una imagen que sirve para ejemplificar la idea de imposibilidad absoluta en Matemática. Es tan imposible lograr la cuadratura del círculo como lo es lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra (bajo las condiciones que antes describí).

F: Pero sí es posible lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra en una partida de verdad. ¿No invalida esto su analogía?
G: Al contrario. La cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área, usando solamente una regla no graduada y un compás. Bajo esas condiciones la construcción es absolutamente imposible. Pero sí es posible hacer la construcción si admitimos otros recursos; de la misma forma que el alfil sí puede cambiar de color si agregamos otras complejidades a la situación.

F: ¿Cómo?
G: Por ejemplo, dado el círculo, coloque un hilo alrededor de su borde de modo que ambos, borde e hilo, coincidan perfectamente. Estire luego el hilo de modo que quede como un segmento. Trace el segmento determinado por el hilo. Si el diámetro del círculo mide uno, el segmento medirá pi y a partir de él es muy fácil trazar el cuadrado pedido.

F: Entonces ¿es posible o es imposible lograr la cuadratura del círculo?
G: Es imposible si nos limitamos a usar los recursos que exige el problema clásico (regla no graduada y compás). Pero es posible si admitimos el uso de otros elementos. Por eso, sus extraños ejemplos de partidas en las que el alfil cambia de color, lejos de refutar la analogía, la hacen más completa.

F: Pero usted dice que la analogía no demuestra que la cuadratura es imposible.
G: No, claro que no. La demostración se basa en tres hechos:

1. Partiendo de un segmento unidad sólo se pueden construir (usando regla no graduada y compás) segmentos cuya longitud sea un número algebraico. [No se pueden obtener todos los números algebraicos, pero eso no es importante ahora.]
2. La cuadratura de círculo es posible si y sólo si se puede construir un segmento de longitud pi.
3. Pi no es algebraico.

La combinación de los tres hechos da como resultado ineludible... bueno, lo que ya sabemos: la cuadratura del círculo es imposible.

F: ¿Las demostraciones de esos tres hechos son fáciles de entender?
G: La demostración del hecho (1) no es difícil, sólo requiere saber un poco de geometría elemental. la demostración del hecho (2) es un poco más difícil. La del hecho (3) es bastante más complicada.

F: ¿Y si hubiera un error en la demostración del hecho (3)? (Digo ésa porque es la más difícil.)
G: La demostración ha sido revisada, una y otra vez, por generaciones de matemáticos quienes han ratificado unánimemente su validez.

F: ¿Y si, a pesar de todo, hubiera un error? ¿Un error que se le hubiera pasado por alto a todos los miles de matemáticos que revisaron la demostración?
G: ¿Usted estuvo alguna vez en París?
F: Dígamelo usted, ya que fue usted quien me creó.
G: Bueno. Usted nunca estuvo en París, como yo tampoco.

F: Ya veo, va a preguntarme cómo sé que la Torre Eiffel realmente existe.
G: Exacto. ¿Cómo lo sabe? ¿Cómo sabe que no hay una conspiración universal para hacernos creer (a quienes nunca estuvimos en París) que existe algo llamado "Torre Eiffel"? ¿Cómo sabe si en realidad en ese lugar de París no hay nada? ¿Cómo sabe si lo que sucede es que cada supuesto visitante de la torre es reclutado para formar parte de esa conspiración y propagar la mentira? ¿Cómo sabe si todas las supuestas fotos de la torre son trucadas? Etcétera, etcétera...

F: No puedo saberlo con certeza.
G: Exacto. En realidad ni siquiera podría saberlo aunque estuviera de pie frente a la torre misma, porque sus sentidos podrían estar siendo engañados. Pero la suposición infinitamente más razonable es que la Torre Eiffel sí existe y que todas las fotografías que la muestran (bueno, digamos que casi todas) representan un objeto real.
F: Supongo que tiene razón.
G: De la misma manera, exactamente de la misma manera, la suposición infinitamente más razonable es que realmente la cuadratura del círculo es imposible, porque generaciones de matemáticos así lo han comprobado. Lo más razonable, lo único razonable, es abandonar todo intento de resolver el problema (usando los método clásicos).
F: Entonces ¿por qué hay gente que lo sigue intentado?
G: No tengo idea.

F: ¿Me permite una última pregunta?
G: Por supuesto.
F: Siguiendo sus palabras...¿De la misma manera, de exactamente la misma manera, la suposición más razonable para mí es aceptar que estoy conversando con usted?
G: Sí, claro.
F: Y sin embargo, yo no existo. Como dije antes, usted me creó. ¿Dónde nos deja eso?
G: Yo le preguntaría qué clase de afirmación es "yo no existo". ¿Quién es el "yo" que afirma que no existe?

¿Fin?