jueves, 24 de marzo de 2011

^ (Parte 1)

Definición comentada de la operación de potenciación

La intención de esta breve serie de entradas es exponer la definición de la operación de potenciación tal como es aceptada universalmente por la comunidad matemática, agregando algunos comentarios que normalmente son omitidos en los textos. Hago la aclaración de que las limitaciones de Blogger me obligan a indicar la operación con el símbolo "^", aunque todos sabemos que usualmente se indica poniendo el exponente en tamaño pequeño y un poco elevado por sobre la línea de escritura.

El primer punto a tomar en cuenta es que la potenciación es una operación que se define por casos sucesivos, según el conjunto numérico en el que se encuentre el exponente. Iniciaré con un caso muy básico:

Caso 1: a^2 = a.a. (El número a puede ser cualquier número real.)

[René Descartes fue el primero, o al menos uno de los primeros, en usar esta notación.]

Pregunta: ¿Por qué a^2 es a.a? ¿Podría ser a^2 = a + a?

Respuesta: Que a^2 sea igual a a.a es sólo una convención de notación que, evidentemente, fue elegida porque resultaba útil (podemos conjeturar que el producto de un número por sí mismo aparecía muchas veces en los cálculos y eso justificó el uso de una notación específica para esa operación. La respuesta a la segunda pregunta es claramente que sí. Las notaciones matemáticas dependen muchas veces de elecciones arbitrarias que pudieron haber sido muy diferentes.

Pregunta: ¿Es un abuso de notación el usar el mismo símbolo ^ (en realidad, la notación del exponente) para (-2)^2 o para 3^2.

Respuesta: Obviamente, no. En ambos casos hablamos de multiplicar un número por sí mismo así que ¿por qué sería un abuso de notación? Si Ud. le hubiera planteado esa pregunta a Descartes, seguramente le habría tirado un borrador por la cabeza, como un par de siglos después haría otro francés, Galois, con un examinador que le hacía preguntas de ese estilo (claro que aquél borrador no era de madera como los nuestros, sino que era una esponja).

Caso 1 (ampliado): a^n = a.a....a (Donde a se repite n veces.)

El número a puede ser cualquier número real. El valor de n sólo puede ser un entero estrictamente positivo, es decir: 1, 2, 3, 4,... ya que sólo para esos valores puede hablarse de "cantidad de veces". Puee darse una definición inductiva de este caso, pero es sólo una formalización más elegante de la misma idea.

Propiedades:
Importante: Hasta ahora sólo hemos definido el cálculo de potencias con exponente entero estrictamente positivo y, como consecuencia, las propiedades se refieren sólo a ese caso. En el punto 3 el valor de a debe ser distinto de cero, en los demás puede ser cualquier número real.

1. (a^n).(a^m) = a^(n + m)
2. (a^n)^m = a^(n.m)
3. a^n/a^m = a^(n - m). Esta propiedad vale (por ahora) solamente si n es estrictamente mayor que m, porque de lo contrario en el miembro derecho tendríamos una potencia que todavía no hemos definido. Obviamente a debe ser distinto de cero.

Pregunta: ¿Qué pasa con a^0?

Respuesta: Todavía no lo hemos definido, aparecerá en el caso siguiente.

Continuará...