Axiomas de Peano y consecuencias (5) con algunos comentarios sobre el teorema de Gödel

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Nota: desde que publiqué por primera este entrada he ido modificando ligeramente su contenido buscando que converja a lo que quiero expresar.

Desde hace algún tiempo venimos mostrando algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano. En las entradas previas hemos demostrado, por ejemplo, que la suma de números naturales es asociativa y conmutativa, y que el 0 es su neutro. También probamos que el producto es asociativo y conmutativo, y que el 1 (definido como S(0)) es su neutro. Veremos ahora algunos teoremas más, que tendrán esta vez, además, cierta relación con el teorema de Gödel. Para comenzar, recordemos dos de los axiomas de Peano:

Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.

Veamos ahora un nuevo teorema:

Teorema 13: Si $n\neq 0$ entonces existe m tal que S(m) = n.
Demostración:
El enunciado que queremos demostrar equivale a $\forall n (n=0 \vee \exists m(S(m)=n))$, y este último enunciado se prueba fácilmente por inducción. En efecto, para n = 0 vale, y supuesto que vale para n entonces es claro que también vale para S(n) ya que si n = S(m) entonces S(n) = SS(m).

Teorema 13 bis: Si $n\neq 0$ entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesivamente una cantidad finita de veces.
Demostración:
Por inducción. Para n = 0 vale (el antecedente de la implicación es falso). Supuesto que vale para n es inmediato que vale para S(n) ya que si n = SS...S(0) entonces S(n) = SSS...S(0) (una S más).

Teorema 13 ter: Si una afirmación vale para 0, S(0), SS(0), SSS(0), SSSS(0),... entonces la afirmación vale para todo n.
Demostración:
Sea n cualquiera, entonces, por el teorema anterior, o bien n = 0, o bien n = SS...S(0), en cualquiera de los dos casos, por hipótesis, la afirmación vale para n.

¿Cree usted que los tres teoremas son válidos?

Sucede que el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones que impone la lógica de primer orden, mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en la lógica de segundo orden). ¿Es importante esta distinción? En parte sí, porque el teorema de Gödel sólo vale en teorías basadas en la lógica de primer orden. De hecho, si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gödel pasa a ser directamente falso (o, si se quiere, es falso si se acepta en la matemática ese tipo de razonamiento). Por así decirlo, la validez del teorema de Gödel termina en la delgada línea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. Vuelvo a preguntar: ¿cree usted que los tres teoremas son válidos?

Una primera conclusión es (o debería ser) que el teorema de Gödel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera, y que refutan cualquier análisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades técnicas.

Por otra pare, yo sí creo que los tres teoremas son válidos, por lo que esta situación me convence (al menos a mí) de que la lógica que usan naturalmente los matemáticos no es (a diferencia de los que los lógicos suelen sostener) la lógica de primer orden, sino la lógica de segundo orden. La "verdadera lógica", digo yo, es la de segundo orden, la otra es una lógica muy apta para ser estudiada, pero no es la que usamos realmente para razonar.

¿Es falso entonces el teorema de Gödel? No, el teorema de Gódel sigue siendo válido en la teorías basadas en la lógica de primer orden, es decir, tiene una aplicación específica que, según yo lo veo, no alcanza a toda la matemática en su conjunto.