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Un problemita muy matemático

1) Halle todas las funciones continuas g:(0, + infinito) --> R tales que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

2) Muestre una función discontinua g:(0, + infinito) --> R tal que g(x^y) = g(x)^g(y) para todo x, y.

("^", como siempre, significa "elevado a la").

[Dado que los comentarios a esta entrada se han apartado del tema inicial y se han adentrado en la discusión sobre 0^0, he decidido agregar a la entrada la etiqueta Irrefutable pero resistida, con la que designo a las entradas donde se habla de la afirmación "0^0 = 1". Hago, además, la observación de que, al momento de escribir estas líneas, 15.02.11, la segunda parte del problema sigue sin tener resolución.]

Problema de Análisis Matemático

Permítanme salirme un poco de la temática habitual del blog y plantear un problema de Análisis Matemático.

Tenemos una función f(x) de variable real tal que f(x) es siempre un número estrictamente positivo.

1) Supongamos que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L menor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es 0?

2) Si el límite cuando x tiende a +infinito de f(x + 1)/f(x) existe y es un número L mayor que 1. ¿Podemos deducir que el límite cuando x tiende a +infinito de f(x) es +infinito?

En ambos casos, si la respuesta es sí, se pide una demostración. Si es no, se pide un contraejemplo.