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La duplicación de la circunferencia

El famoso teorema de Banach-Tarski dice que es posible cortar una esfera en una cantidad finita de partes, las cuales, convenientemente reordenadas (y sin que sean deformadas de ninguna manera), permiten armar dos esferas iguales a la original.

Mi intención en esta entrada es mostrar un resultado parecido al teorema de Banach-Tarski; un resultado que, aunque menos espectacular, es tan paradójico como él. En esta entrada voy a mostrar cómo se puede cortar una circunferencia en una cantidad infinita numerable de partes que, convenientemente reordenadas, permiten armar dos circunferencias iguales a la original (de hecho, podría armarse una cantidad infinita numerable de circunferencias iguales a la original).

Obviamente, el aspecto paradójico del teorema de Banach-Tarski consiste en que nuestra intuición nos dice que si cortamos un cuerpo en una cantidad finita de partes y las reordenamos entonces el volumen total debería conservarse. El aspecto paradójico del resultado que aquí mostraré es similar ya que, quizás no nuestra intuición, pero sí los axiomas de la medida nos dicen que la longitud debería igualmente conservarse si una curva es cortada en una cantidad numerable de partes y estas son reordenadas.

Sea C entonces una circunferencia; vamos a comenzar definiendo en ella una relación de equivalencia. Para ello, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ consideramos el movimiento que consiste en girar todos los puntos de C un ángulo de q.360° en sentido contrario al de las agujas del reloj. A todos los movimientos así definidos los llamaremos giros válidos.
Definimos entonces la siguiente relación: dos puntos P y Q de C están relacionados si y sólo si es posible llegar de P a Q mediante un giro válido. No es difícil probar que se trata, en efecto, de una relación de equivalencia.

Llamemos V a un sistema de representantes de la relación, es decir, V contiene exactamente un punto de cada una de las clases de equivalencia determinadas por la relación definida más arriba. Una consecuencia de esta definición es que cada punto P de la circunferencia C existe un único punto Q de V tal que se puede llegar de Q a P mediante un giro válido; y ese giro también es único.

A continuación, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ llamamos Vq al conjunto que se obtiene aplicando simultáneamente a todos los puntos de V el giro válido de q.360°. Por ejemplo V1/3 se obtiene girando los puntos de V 120° en sentido antihorario (nótese que V0 = V). De lo dicho más arriba se deduce, por un lado, que C es la unión de todos los Vq y, por el otro, que no hay puntos que pertenezcan simultáneamente a dos Vq diferentes.

Dado que el conjunto de todos los números racionales es numerable, entonces la circunferencia C ha quedado partida en una cantidad igualmente numerable de partes Vq disjuntas dos a dos. Tenemos así definidas, entonces, cuáles son las partes en que la circunferencia es cortada, veamos ahora cómo reordenarlas para completar la duplicación.

Para comenzar con la duplicación, notemos en primer lugar que dos cualesquiera de las partes en que hemos cortado a C pueden obtenerse, una de la otra, mediante un giro válido. Por ejemplo, V1/2 resulta de girar 60° a V1/3. Separamos entonces las partes que hemos definido y, aprovechando el hecho de que los racionales son numerables, las numeramos 1, 2, 3, 4,… (la imagen se sale de marco porque sigue infinitamente hacia la derecha).
A continuación separamos las partes, colocando por un lado las partes “pares” y por el otro las “impares”.
Finalmente aplicamos, tanto en la fila superior como en la inferior de la imagen, un “corrimiento” al estilo hotel de Hilbert. Con más precisión, en la fila superior de la imagen giramos la parte número 3 de modo que ocupe el lugar de la parte 2 (es decir, rotamos V1/3 para transformarla en V1/2), al mismo tiempo rotamos la parte 5 para que ocupe el lugar de la 3, y así sucesivamente hasta “llenar todos los espacios en blanco”. El resultado final es una copia de la circunferencia C. Luego repetimos el mismo proceso en la fila inferior; giramos la parte número 2 para que ocupe el lugar de la 1, la 4 para que ocupe el lugar de la 2, y así sucesivamente. Logramos así construir una segunda copia de la circunferencia C, la cual, en consecuencia hemos duplicado.

No es difícil modificar la idea (véase aquí) de tal modo que se pueda obtener una cantidad infinita numerable de copias de la circunferencia C. Y con mínimas variantes puede aplicarse también para lograr la multiplicación de un círculo al que le falte su centro (para esto último, a cada punto de conjunto V le adjuntamos el radio que lo une con el centro del círculo, aunque sin incluir al centro en sí mismo).

De modo que, si así lo desean, pueden multiplicar hasta el infinito, sin costo de material, toda su colección de discos compactos… aunque, claro, tal vez la música registrada en ellos quede un poco alterada.

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación de la esfera

Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).

Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).

Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".

Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.

En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.

Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.

¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.

Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.

Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 6)

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La duplicación del cubo

Vamos a comenzar este capítulo recordando, y ampliando, algunos conceptos que ya vimos en el capítulo 2. Lo haremos a través de la solución del siguiente problema.

Problema: Cortar, en una cantidad finita de partes, una franja de longitud infinita de modo tal que las partes resultantes permitan armar la misma franja y además un cuadrado. (Por una franja de longitud infinita entendemos la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas, incluidas las dos rectas).

Para resolver el problema, fijamos un cuadrado cualquiera dentro la franja. A la derecha de este cuadrado fijamos un segundo cuadrado. A la derecha de este último, a la misma distancia, fijamos un tercer cuadrado. Y así sucesivamente. De este modo, habremos fijado una sucesión infinita de cuadrados, cada uno equidistante con sus dos vecinos (excepto el primero, por supuesto, que no tiene vecino a la izquierda).
Dividimos la franja de la siguiente manera:

1. Una parte está formada por el primer cuadrado.
2. Otra parte está formada por todos los demás cuadrados de la sucesión.
3. Una tercera parte está formada por todos los demás puntos de la franja.

La figura siguinete nos muestra cómo reorganizar estas partes de modo de obtener la franja más un cuadrado.


El primer cuadrado es desplazado fuera de la franja. Todos los demás son desplazados una misma distancia hacia la izquierda. De este modo, obtenemos la misma franja más un cuadrado-

Como vimos en el segundo capítulo, un conjunto de puntos forma una "parte" si a todos los puntos en cuestión se les aplica simultáneamnete los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías). Por lo tanto, es válido considerar a todos los cuadrados (excepto el primero) conjuntamente como una sola parte.

Como he dicho unos párrafos más arriba, esta idea ya la vimos en el capítulo 2. Me interesa destacar aquí que el hecho de que la cantidad de partes sea finita o infinita depende, en algunos casos, de nuestro ingenio a la hora de definir esas partes. Por ejemplo, en el caso de la franja, si los cuadrados hubieran sido elegidos a distancias crecientes (así como en el problema del cap. 2, los "segmentos rojos" estaban colocados a distancias decrecientes) entonces cada cuadrado habría sido una parte diferente y la cantidad total de partes habría sido infinita.

Hay casos, sin embargo, en los que, no importa cuánto ingenio depleguemos, la cantidad de partes no puede ser finita, veremos algún ejemplo más adelante.

Con esta idea en mente, revisemos otra vez al problema del capítulo anterior:

Problema: Cortar un cuadrado en partes de modo de obtener dos cuadrados iguales al original.

En el capítulo anterior, para dividir el cuadrado elegimos un lado cualquiera de él y lo cortamos en segmentos perpendiculares a ese lado. Ahora bien ¿cada segmento constituye una parte diferente? En realidad, según la idea que acabamos de ver, no tenemos suficiente información como para responder esa pregunta. Necesitamos saber exactamente qué movimientos se les aplica a los segmentos.

Por ejemplo, si hubiera todo un grupo de segmentos a los que se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, entonces en conjunto, esos segmentos formarían una sola parte. En principio al menos, es concebible que, inclusive, la cantidad total de partes pudiera llegar a ser finita (tal como en el ejemplo de la franja).

Para saber si, en el problema del cuadrado, la cantidad de partes es finita, o no, debemos volver a resolver el problema, pero ahora indicando de manera explícita los movimientos involucrados.

Recordemos que la solución se basó en el hecho de que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Esto significa que es posible emparejar los puntos de un segmento con los puntos de dos segmentos de la misma longitud. Mostrmos explícitamente cómo se puede hacer este emparejamiento. Lo haremos en cuatro pasos sucesivos.

Paso 1: Hay tantos puntos en un segmento como en en un segmento del doble de longitud que él.

Queremos ver cómo es posible emparejar cada punto de un segmento A con un punto de un segmento B (del doble de longitud que A) de modo que ningún punto quede sin pareja, ni que haya dos o más puntos que queden emparejados con un mismo punto (ni solteros, ni polígamos, como decíamos en el capítulo anterior). El siguiente dibujo muestra cómo emparejar los puntos de un segmento con otro del doble de longitud:

De paso, este dibujo resuelve el siguiente problema: cortar un segmento en partes que, reordenadas, nos den un segmento del doble de longitud. Cada parte, en este caso, es un punto y las líneas azules nos dicen cómo debemos desplazarlos (cada punto sufre un desplazamiento diferente, por lo que debe ser considerado una parte diferente).

Paso 2: Hay tantos puntos en un segmento como en un segmento de la misma longitud al que le hemos quitado uno de los extremos. (La falta del extremo se indica con un "circulito blanco". Como ya dijimos en otras ocasiones, se trata solamente de una convención gráfica para indicar una situación matemática irreproducible en la realidad física.)

Es obvio que hay un emparejamiento uno-a-uno entre dos segmentos de la misma longitud: cada punto de un segmento lo emparejamos con el punto correspondiente del otro. ¿Pero qué pasa si a uno de los segmentos le falta uno de los extremos? El dibujo siguiente nos muestra qué podemos hacer en ese caso (en el fondo, es la misma idea que la empleada más arriba para la franja infinita o, en el cap. 2 para los "segmentos rojos").

Tomamos uno de los extremos del segmento que está "completo" y lo emparejamos con el punto medio del otro segmento. Al punto medio del primer segmento lo emparejamos con el punto que marca un cuarto de la longitud. Al que marca un cuarto de la longitud con el de un octavo, y así sucesivamente. Todos los demás puntos se asocian con su pareja "natural" (la que le correspondería si no hubiera faltado ningún punto).

Paso 3: Veamos este dibujo.

En la figura, tomamos un segmento y lo partimos en dos. Una de las partes contiene el punto medio del segmento original, la otra no lo contiene. La parte que no contiene el punto medio es emparejada con una de la misma longitud que sí tiene los mismos extremos.

Paso 4: A cada uno de los dos segmentos obtenimos en el paso anterior le aplicamos el procedimiento indicado en el paso 1. La combinación de todos estos emparejamientos (la "composición" de los movimientos, se diría en leguaje matemático) nos da como resultado una manera de emparejar los puntos de un segmento con los de dos segmentos de la misma longitud que él.

Para duplicar el cuadrado, tal como ya dijimos en el capítulo anterior, aplicamos estos cuatro pasos a uno de los lados de la figura y hacemos que cada punto "arrastre" al segmento contenido en el cuadrado y que es perpendicular al lado elegido.


De este modo, una vez más, hemos logrado la duplicación del cuadrado. Una observación cuidadosa de los movimientos empleados nos permite concluir (ahora sí) que la cantidad de partes usadas es infinita, ya que, en efecto, cada segmento es una parte diferente (dado que a cada segmento se le aplica una traslación diferente).

Ahora bien, los cuatro pasos que vimos antes nos permiten duplicar el segmento. La duplicación del cuadrado puede verse como la "consecuencia plana" de esa duplicación lineal. Podemos ir un paso más allá y usar la duplicación del cuadrado para duplicar el cubo.

En efecto, pensemos al cuadrado superior del dibujo anterior como la base de un cubo. Cada segmento de los que antes usamos para duplicar ese cuadrado nos servirá ahora como "guía" para hacer un corte perpendicular en el cubo. El cubo queda así cortado en lonjas cuadradas unidimensionales. Si hacemos que cada segmento arrastre la lonja correspondiente, las lonjas formarán dos cubos iguales al original.

Es decir, hemos resuelto el siguiente problema: cortar un cubo en partes que permitan armar dos cubos iguales al original.

La duplicación del cubo se basa, en definitiva, en el hecho de que hay una correspondiencia uno-a-uno entre los puntos de un segmento y los putnos de dos segmentos de la misma longitud que él. Pero este hecho ya era conocido por Georg Cantor hacia 1875. Es decir, Cantor, aunque (que yo sepa) nunca lo publicó, ya sabía que era posible duplicar un cubo. El Teorema de Banach-Tarski se publicó en 1926, casi 50 años después ¿cuál es, entonces, el mérito de Banach y Tarski?

La posibilidad de duplicar un volumen era ya conocida en 1875, el mérito de Banach y Tarski (1) es haber tenido la habilidad suficiente como lograr esa duplicación en una cantidad finita de partes. Volveremos a esta cuestión en el próximo capítulo.

Nota: (1) Aclaremos que Alfred Tarski y Stephan Banach fueron dos grandes matemáticos que estarían, por mérito propio, en la historia de esa ciencia, aun cuando nunca hubieran duplicado la esfera.

(Continuara...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 5)

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La duplicación del cuadrado

En los dos capítulos anteriores vimos cómo es posible dividir un cuadrado de tal modo que con las partes resultantes podamos armar el mismo cuadrado y, además, un segmento. Es decir, como en el Teorema de Banach-Tarski, hemos hecho aparecer algo de la nada.

De todos modos, hay que admitir que ese "algo" que hemos hecho aparecer no es demasiado espectacular. Mientras que Banach y Tarski logran duplicar un volumen, nosotros no hemos logrado aumentar, ni siquiera ínfimamente, el área de la figura inicial. En efecto, dado que un segmento tiene área exactamente igual a cero, la combinación "cuadrado más segmento" tiene la misma área que el cuadrado por sí solo.

¿Será posible cortar un cuadrado de tal modo que las partes resultantes nos permitan armar dos cuadrados iguales al original (y así lograr una verdadera duplicación del área)? La respuesta, como veremos a continuación, es que sí.

Problema: Dividir un cuadrado en partes de tal modo que con ellas sea posible armar dos cuadrados iguales al original.

Primera versión de la solución: La clave de la solución consiste en observar que hay tantos puntos en un segmento como en dos segmentos de la misma longitud que él. Para entender esta afirmación veamos la siguiente figura:

En el dibujo, A, B y C son tres segmentos de la misma longitud. Cuando decimos que hay tantos puntos en A como en B y C reunidos queremos decir que es posible emparejar cada punto de A con un punto de B o con un punto de C, de modo tal que se cumplan a la vez todas las condiciones siguientes:

1. Cada punto de A se empareja con un punto de B o con un punto de C, sólo una de las dos alternativas.

2. Cada punto de B se empareja con un punto en A.

3. Cada punto de C se empareja con un punto de A

4. Ningún punto queda sin pareja, ni existe algún punto con dos parejas a la vez (ni solteros, ni polígamos podríamos decir).

A modo de ejemplo, en el dibujo de más arriba se ve que el punto p se empareja con el r y que el punto q se empareja con el s. (En la segunda versión de la solución veremos explícitamente cómo es posible definir este emparejamiento.)

Imaginemos ahora que A es uno de los lados del cuadrado que queremos cortar. Una "parte" del cuadrado será cualquier segmento que esté contenido en él y que sea perpendicular al lado A (es decir, cortamos al cuadrado en lonjas unidimensionales perpendiculares a A).

Para armar los dos cuadrados, desplazamos los segmentos según nos lo marque el emparejamiento que hicimos más arriba con los puntos. Si el punto p, por ejemplo, se corresponde con el punto r, entonces desplazamos el segmento correspondiente a p de modo que quede colocado "sobre" el punto r. Esto se ejemplifica en la figura siguiente:

Las características indicadas más arriba para el emparejamiento de los puntos nos aseguran que los segmentos obtenidos del primer cuadrado terminan formando, de manera completa, dos cuadrados iguales al original. De este modo, sin agregar nada, hemos duplicado el área de la figura inicial.

En el próximo capítulo veremos una segunda versión de esta misma solución en la que haremos foco en algunos detalles técnicos. Veremos también algunas consecuencias de la solución mostrada.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 4)

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"Espero que me perdone si uso imágenes gráficas en vez de expresiones matemáticas exactas." (Isaac Asimov, El Fin de la Eternidad, Cap. 1)

"Debes ir más allá de lo que ves." (Walt Disney Studios, El Rey León 3)

Más allá de lo que ves...

Voy a concederme una pequeña pausa en la exposición del tema que veníamos desarrollando para hacer algunas aclaraciones acerca de lo ya publicado. No hice antes estas aclaraciones porque en un principio juzgué que eran innecesarias, pero una reflexión posterior me ha hecho pensar que tal vez sea conveniente precisar algunos puntos.

En primer lugar debo decir que en este blog trato de reducir tanto como sea posible el uso de un lenguaje técnico-matemático.

Es muy conocida una fábula que dice (más o menos) así: Un rey le pide a un físico que le explique la Teoría de la Relatividad. El físico se la explica usando terminomogía técnica y lenguaje matemático, pero el rey le dice que no entiende nada.

El físico simplifica la explicación y reemplaza algunas ecuaciones matemáticas por analogías gráficas, pero igualmente el rey vuelve a decir que no entiende. La situación se repite una y otra vez, el físico reduce la terminología técnica, pero el rey le dice que aún no entiende.

Finalmente el físico explica la Relatividad a partir de una historia en la que dos personas juegan al tenis en un tren. El rey le dice que ahora sí entendió, a lo que el físico le responde "lástima, porque ésa ya no era la Teoría de la Relatividad".

Mi idea, en general, tanto al hablar de la Paradoja de Banach-Tarski como de cualquier otro tema matemático tratado en este blog, es mantenerme en un punto intermedio entre los dos extremos de la fábula: trato de usar un mínimo de lenguaje técnico, pero de modo tal que la explicación no sea una mentira. Es decir, si hablamos de la Paradoja de Banach-Tarski entonces hablamos de la Paradoja de Banch-Tarski, no de dos jugadores de tenis en un tren, pero con un mínimo de tecnicismos. (Al menos ésa es la intención general, otra cuestión es si esa intención se ve coronada por el éxito.)

Esta intención muchas veces me lleva (como al personaje de Asimov citado más arriba) a reemplazar las expresiones matemáticas exactas por imágenes gráficas. Sin embargo, al ver esas imágenes, uno no debe quedarse estancado en el dibujo. Tal como dice el mandril en la película también citada más arriba, hay que ir más allá de lo que se ve. ¿Qué quiero decir? Por ejemplo, quiero decir que esto no es un cuadrado:

Ni esto es un segmento:
Repito, el dibujo pintado de amarillo que acabamos de ver no es un cuadrado. Es la representación gráfica (muy imperfecta) de un concepto matemático abstracto que no existe en la realidad física. Una representación ciertamente muy útil y que nos ayuda a entender (o, como dice Borges, a creer que entendemos) las propiedades de un cuadrado.

Pero pretender que el dibujo tenga las propiedades del cuadrado es como querer vivir en la fotografía de una casa, o como buscarle las espinas a la palabra ROSA.

¿Qué es, entonces, un cuadrado? En principio, un cuadrado es un conjunto infinito (no numerable) de puntos del plano (lo mismo vale para un segmento, un triángulo, un hexágono, etc.) Voy a dar a continuación una definición posible del concepto de cuadrado (no es la única definición posible, pero es una definición que se ajusta perfectamente a los fines de nuestra exposición).

Para llegar a la definición de cuadrado necesito pasar por algunas notacioes y definiciones previas:

1. Llamamos R al conjunto de todos los números reales.

2. Llamamos [a,b] al conjunto de todos los números reales comprendidos entre los números a y b (ambos inclusive).

3. Si A y B son dos conjuntos, llamamos A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x es un elemento de A e y es un elemento de B.

4. Llamamos plano al conjunto R x R, es decir, al conjunto de todos los pares (x,y) donde x e y son números reales cualesquiera.

5. Llamamos cuadrado básico al conjunto [0,1] x [0,1].

6. Definición. Un conjunto de puntos es un cuadrado si y sólo si se obtiene del cuadrado básico por sucesivas aplicaciones (una cantidad finita de veces) de rotaciones, traslaciones y homotecias. (En este contexto, rotaciones, traslaciones y homotecias deben pensarse como cierto tipo específico de funciones de R x R en R x R.)

Análogamente podemos definir segmento. En ese caso el segmento básico es el conjunto [0,1] x {0}. (Deliberadamente no ilustro con dibujos.)

Dijimos que el dibujo de más arriba no es un segmento. Bien podemos pensar al segmento básico como un rectángulo degenerado en el que la base mide 1 y la altura mide exactamente 0.

No existe objeto físico alguno que sea equivalente a un segmento. Si pensáramos compararlo con una varilla delgada, por ejemplo, veríamos que un segmento tiene infinitos puntos, sin "espacio libre" entre ellos, mientras que la varilla está formada por una cantidad finita de átomos con (relativamente) mucho espacio libre dentro de ellos. Un segmento es divisible cualquier cantidad finita de veces, mientras que una varilla no lo es (no se puede dividir una varilla en 10^100 fragmentos, pero sí se puede hacer la operación equivalente con un segmento), etc.

De existir un objeto equivalente a segmento, sería invisible.

Voy a repetir la partición que hicimos en el capítulo anterior (allí explicada con la metáfora de los "segmentos rojos"), pero ahora usando un lenguaje matemático preciso:

La idea es establecer una partición de un cuadrado que nos permita obtener el mismo cuadrado más un segmento. Podemos suponer que tenemos el cuadrado básico [0,1] x [0,1]. Voy a definir una familia infinita de subconjuntos: A0, A1, A2,...

A1 es el conjunto {1/2} x [0,1]. (En el capítulo anterior lo describí como el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado, descripción perfectamente correcta que fue ilustrada con el primer "segmento rojo".)

A2 es el conjunto {1 - 1/4} x [0,1]

A3 es el conjunto {1 - 1/8} x [0,1]

Si n > 0, entonces An es el conjunto {1 - 1/2^n} x [0,1]

A0 = [0,1] x [0,1] - (A1 U A2 U A3 U...)

A1 es el que en el capítulo anterior llamé el primer segmento rojo, A2 es el segundo, A3 es el tercero, etc. A0 contiene a todos los puntos que no están en ninguno de los segmentos.

Para "ensamblar" el cuadrado más un segmento, a A1 le aplicamos la traslacióin de vector (-1,0), a A2 la traslación de vector (-1/4, 0), a A3 la traslación de vector (-1/8, 0) y así sucesivamente. A A0 le aplicamos la traslación nula, de vector (0,0).

De este modo se obtiene el cuadrado original más un segmento. Como ya dije, el mismo procedimiento fue explicado en el capítulo anterior apelando a la metáfora de los segmentos rojos. La partición del capítulo 2 también puede describirse en términos matemáticos exactos.

En adelante seguiré con mi idea de reducir al mínimo el lenguaje técnico, pero, recuerden, deben ir más allá de lo que ven...

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 3)

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Abracadabra

En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:

Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.

Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.

Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:

En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.

1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.

2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.

3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.

...Y así sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.

Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".

Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)

"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:

1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).

2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)

3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.

El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.


Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.

Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?

La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).

Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.

Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.

En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 2)

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Cortar y Pegar

En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.

Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)

En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.

La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.

Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.

Intentemos, para esta interpretación, la misma solución de antes. Dividimos el cuadrado por la diagonal, pero en este caso cada punto de esa diagonal sólo puede estar en uno de los dos triángulos resultantes. En la solución física había una duplicación: cada punto de la diagonal aparecía en ambos catetos de los triángulos resultantes de la división.
En el paso 2 del dibujo vemos que la hipoptenusa del triángulos inferior no está marcada de color negro. Esto indica que a ese triángulo "le falta" su hipotenusa (y por lo tanto, la figura en realidad no es un triángulo, ya que entendemos que un triángulo debe incluir todos sus lados).

Al ensamblar las piezas debemos tener la precaución inversa: cada punto de la figura final debe provenir de uno y sólo uno de los puntos de las piezas reunidas. Al intentar reunir los dos triángulos (véase el paso 3 en el dibujo siguiente) los catetos no pueden superponerse pues habría una duplicación.

"Cortamos" entonces el cateto de uno de los triángulos y lo separamos como una pieza más (paso 4). Reunimos entonces los dos triángulos (paso 5), pero la figura resultante todavía no es un triángulo completo, ya que le falta un lado. Podemos intentar completarlo con el segmento antes separado (paso 6), pero, Pitágoras mediante, ese lado es más corto que el segmento faltante, por lo que la figura final todavía queda incompleta (no es en realidad un triángulo).

En definitiva, según la interpretación abstracta, no hemos podido resolver el problema ya que no logramos armar un triángulo isósceles completo.

¿Es posible resolver el problema según la interpretación abstracta? Dejo la pregunta para los lectores.

Me interesa destacar aquí que el intento de solución según la interpretación abstracta nos ha mostrado una división en partes que es irrealizable en la práctica. El paso 4 (y, de hecho, también el paso 2) son imposibles en la realidad física ya que no existe en el mundo físico el equivalente exacto de un segmento matemático. Existen varillas delgadas, líneas en el papel y otros objetos que podemos imaginar como cercanos a un segmento, pero que de ninguna manera lo son, ya que en todos los casos se trata de cuerpos físicos tridimensionales formados por una cantidad finita de átomos.

Como ya se adivina, el Teorema de Banach-Tarski (que dice que una esfera se puede dividir en cinco partes que, a su vez, permiten ensamblar dos esferas iguales a la original) se refiere a una división abstracta o matemática irrealizable en la práctica.

(Continuará...)

La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 1)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

Introducción

Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.

Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.

El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.

¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.

Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.

¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.

En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.

(Continuará...)