Revista Axioma
En este enlace están ya disponibles los números 0 al 6 de Axioma, revista para profesores y estudiantes de matemática. Próximamente estarán también disponibles los números del 7 al 19, que completan la colección de números publicados.
Mala lógica futbolística
(Del diario Clarín de Buenos Aires, miércoles 21 de julio de 2010.)
Si Boca gana todos los partidos, más que candidato será campeón...
La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)
(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
La duplicación de la esfera
Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).
La duplicación de la esfera
Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).
Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).
Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".
Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.
En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.
Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.
¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.
Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.
Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...
Solidaridad con la Ley de Arizona
Países se solidarizan contra ley de Arizona Ginebra
Once países firmaron ayer en Ginebra, Suiza, a instancias de México, una declaración en la que muestran su preocupación y condena por la ley de Arizona, la cual consideran que tiene un “espíritu racista, xenófobo y contrario a la inmigración de cualquier tipo”.
Los países signatarios fueron, además de México, Uruguay, Panamá, Ecuador, Bolivia, Guatemala, Cuba, Turquía, Senegal, Micronesia y Chile.
“Queremos agradecer a los países signatarios su colaboración en la lucha por la derogación de esta ley xenófoba y racista”, manifestó ayer en Ginebra el vicepresidente del Parlamento de México, Felipe Solís Acero, al final de la Asamblea de Presidentes de Parlamentos, que tuvo lugar en esa ciudad helvética los últimos tres días.
Además de lamentar el “espíritu en contra de la inmigración en general y de la irregular en particular”, la declaración reconoce los “esfuerzos” del presidente de EE. UU., Barack Obama, por “su compromiso personal en impulsar una reforma migratoria integral”.
La Ley SB 1070, aprobada en abril último por Arizona y que entrará en vigor el 29 de julio, permite a las fuerzas de seguridad estatales detener a cualquier sospechoso de no tener regularizado su estatus migratorio.
A iniciativa de México, 11 delegaciones —entre las más de cien presentes en Ginebra— y el presidente de la Asamblea Parlamentaria de Europa, el turco Mevlüt Çavusoglu, firmaron el documento, que insta a la comunidad internacional “a alzar su voz contra la ley de Arizona y cualquier otra medida discriminatoria”.
Once países firmaron ayer en Ginebra, Suiza, a instancias de México, una declaración en la que muestran su preocupación y condena por la ley de Arizona, la cual consideran que tiene un “espíritu racista, xenófobo y contrario a la inmigración de cualquier tipo”.
Los países signatarios fueron, además de México, Uruguay, Panamá, Ecuador, Bolivia, Guatemala, Cuba, Turquía, Senegal, Micronesia y Chile.
“Queremos agradecer a los países signatarios su colaboración en la lucha por la derogación de esta ley xenófoba y racista”, manifestó ayer en Ginebra el vicepresidente del Parlamento de México, Felipe Solís Acero, al final de la Asamblea de Presidentes de Parlamentos, que tuvo lugar en esa ciudad helvética los últimos tres días.
Además de lamentar el “espíritu en contra de la inmigración en general y de la irregular en particular”, la declaración reconoce los “esfuerzos” del presidente de EE. UU., Barack Obama, por “su compromiso personal en impulsar una reforma migratoria integral”.
La Ley SB 1070, aprobada en abril último por Arizona y que entrará en vigor el 29 de julio, permite a las fuerzas de seguridad estatales detener a cualquier sospechoso de no tener regularizado su estatus migratorio.
A iniciativa de México, 11 delegaciones —entre las más de cien presentes en Ginebra— y el presidente de la Asamblea Parlamentaria de Europa, el turco Mevlüt Çavusoglu, firmaron el documento, que insta a la comunidad internacional “a alzar su voz contra la ley de Arizona y cualquier otra medida discriminatoria”.
MARIHUANA EN CALIFORNIA -
Aprueban producción industrial de marihuana
WASHINGTONEl concejo de la ciudad de Oakland, en California, aprobó un plan que permitirá el cultivo industrial a gran escala de marihuana y su comercialización.
El cuerpo político tomó esta decisión la medianoche del martes último, por cinco votos contra dos y una abstención; esta permitirá la producción, el procesamiento y el empaquetado de la yerba.
Al final se impuso el criterio de quienes ven en la resolución una importante fuente de ingresos y empleos para esa ciudad.
La decisión se adoptó después de un largo debate en el que representantes de los pequeños cultivadores se quejaron de que estos tradicionales productores iban a quedar relegados del negocio.
Según informa el diario The San Francisco Chronicle, los concejales tomaron en cuenta los temores de los cultivadores de cannabis en pequeña escala y prometieron que antes de fin de año establecerán reglas más específicas para las plantaciones pequeñas y medianas.
El Gobierno de Estados Unidos calcula que la producción de marihuana en ese país creció de casi mil toneladas en 1981 a unas 10 mil en el 2006.
El sitio Drugscience.org precisa que la producción nacional de marihuana tiene un valor de unos US$35 mil 800 millones.
El crítico más influyente de las nuevas normas fue Steve DeAngelo, propietario del Centro de Salud Harborside de Oakland, el mayor dispensario de marihuana médica en ese país.
Su clínica compra marihuana de unos 500 cultivadores pequeños, por lo cual Harborside ofrece alrededor de cien variedades de esa yerba en cualquier momento.
WASHINGTONEl concejo de la ciudad de Oakland, en California, aprobó un plan que permitirá el cultivo industrial a gran escala de marihuana y su comercialización.
El cuerpo político tomó esta decisión la medianoche del martes último, por cinco votos contra dos y una abstención; esta permitirá la producción, el procesamiento y el empaquetado de la yerba.
Al final se impuso el criterio de quienes ven en la resolución una importante fuente de ingresos y empleos para esa ciudad.
La decisión se adoptó después de un largo debate en el que representantes de los pequeños cultivadores se quejaron de que estos tradicionales productores iban a quedar relegados del negocio.
Según informa el diario The San Francisco Chronicle, los concejales tomaron en cuenta los temores de los cultivadores de cannabis en pequeña escala y prometieron que antes de fin de año establecerán reglas más específicas para las plantaciones pequeñas y medianas.
El Gobierno de Estados Unidos calcula que la producción de marihuana en ese país creció de casi mil toneladas en 1981 a unas 10 mil en el 2006.
El sitio Drugscience.org precisa que la producción nacional de marihuana tiene un valor de unos US$35 mil 800 millones.
El crítico más influyente de las nuevas normas fue Steve DeAngelo, propietario del Centro de Salud Harborside de Oakland, el mayor dispensario de marihuana médica en ese país.
Su clínica compra marihuana de unos 500 cultivadores pequeños, por lo cual Harborside ofrece alrededor de cien variedades de esa yerba en cualquier momento.