Axiomas de Peano y consecuencias (1)
A la parte 2.
La intención de esta serie de entradas es simplemente explorar cómo, a partir de los Axiomas de Peano, pueden probarse las propiedades básicas de los números naturales.
Los axiomas de Peano
Estos axiomas se refieren a ciertos objetos a los que llamaremos números naturales y tienen como elementos primitivos al número 0, que es un número natural, a la función sucesor, que indicamos con la letra S, y a las operaciones de suma y producto. Los axiomas son:
Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural.
Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.
Axioma 3: n + 0 = n.
Axioma 4: n + S(m) = S(n + m).
Axioma 5: n.0 = 0.
Axioma 6: n.S(m) = n.m + n.
Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) $\Rightarrow $ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n.
Teoremas:
Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.
Teorema 1: 0 + n = n.
Demostración:
Aplicamos el esquema de inducción.
Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3.
Tenemos que probar que "0 + n = n $\Rightarrow $ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así:
Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n).
Teorema 2: n + S(m) = m + S(n).
Demostración:
Hacemos inducción en m.
Para m = 0 la afirmación vale porque:
n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1.
Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n).
S(m) + S(n) =
= S(m + S(n)) (ax. 4)
= S(n + S(m)) (hipótesis)
= n + S(S(m)) (ax. 4).
Teorema 3: n + m = m + n
(Es decir, la suma es conmutativa).
Demostración:
Fijamos n y hacemos inducción en m.
Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1.
Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así:
n + S(m) =
= S(n + m) (ax. 4)
= S(m + n) (hipótesis)
= m + S(n) (ax. 4)
= S(m) + n (teo. 2).
MÁS REGALOS
Mi regalo es un corazón que se llena de corazones y crece con ellos. Y se hace un mejor corazón.
Es una sonrisa alegre diaria, que ilumina mi mañana y le da calor a cada atardecer.
Es un mundo abierto, posible… que reta, que llama, que anima, que inspira, que me invita a pintarlo de colores.
Es la búsqueda continua que encaja los sueños.
Que engrasa los ánimos, alienta el camino...
y llama a la creatividad.
Mi regalo diario es saberme ahí, cada día…
| Iñigo García Blanco  |   |
REGALAR
En tiempos de crisis se agudiza. la creatividad, el ingenio y se valoran más los gestos que no se pueden comprar, sobre todo porque éstos son gratis.
Hoy en día uno de los regalos más apreciados por todos es el tiempo: regalar un paseo, una carta larga escrita a mano y echada con sobre y sello, un pan o unas galletas hechos a mano en el horno de casa, una invitación: a tomar un café sin prisas, a una excursión, a tumbarse a ver las estrellas por la noche, a contar un cuento, a dibujar juntos, a mirar el mar o el fuego...
Otro regalo muy valorado es la sorpresa de recibir una valoración positiva sobre actitudes o acciones que se dan por supuesto: agradecer al compañero de trabajo su disponibilidad para echarnos una mano cuando lo necesitamos, para cambiar de turno, para cerrar la tienda, para hablar con el jefe... a veces produce una reacción inesperada. Probar para creer.
El buen humor es un regalo estupendo. San Pablo dice algo así como: sonreíd; sed felices, aunque no sea más que para dar ejemplo... (libre traducción mía). Pues lo cierto es que el buen humor es contagioso, tanto o más que la gripe, y sonreír a quienes encontramos, en general provoca respuestas positivas. Desafiar las crisis, los problemas, los baches con sentido del humor es un regalo incluso para quien lo hace.
Frecuentemente se nos olvida el regalo de la oración, y en algunos casos no nos queda otro regalo que hacer. Cuando no se consigue comunicar, cuando la distancia es demasiado grande (física o psicológica), cuando el problema no tiene remedio, cuando somos tan patosos como para no encontrar otros caminos... ahí está Dios, para hacerle llegar nuestro amor, nuestra cercanía invisible. El es nuestro cómplice.
Y luego hay regalos explícitos, esos que se hacen porque se escucha, porque se está atento a las necesidades de quienes nos rodean: descubrir que nuestros amigos no salen nunca al cine porque no tienen quien les cuide a los niños nos da directamente la pista de que podemos regalar dos horas de baby-sitter; descubrir que nuestros vecinos ancianos no reciben nunca visitas nos pone la cosa a "huevo"; saber que alguien tiene dificultad para socializar, para hacer amigos, o que acaba de llegar al barrio y se siente perdido, no necesita comentario; saber que hay quien tiene tanto tiempo y cosas que dar y se aburre en su soledad y baja autoestima nos ayuda a encontrar recursos para la comunidad; observar que ciertos ancianos o enfermos se avergüenzan de pedir que se les haga la compra, o que se les limpie la casa, o que algunos extranjeros no quieren decir que están pasando un mal momento, o que sienten una nostalgia mortal por su familia, nos pone la respuesta delante... A veces la comunidad cristiana no escucha bastante, y no pone en conexión los regalos que pueden intercambiarse.
Y para acabar, están los regalos que se compran: durante todo el año. Recuperemos el valor de lo sencillo, no compremos cosas inútiles (aunque la cosa es subjetiva, mi acordeón a alguien le parecerá inútil...; ), compremos en la red de Comercio Justo, usemos pocos embalajes y menos bolsas de plástico, evitemos el usar y tirar, las pilas cuando es posible, reciclemos, reutilicemos, y comamos menos langostinos.
Pues eso, no será porque nos falten las ideas.
