Con esta entrada quiero cerrar el círculo que comenzó con Pregúntenzen, y siguió con Sherlock Holmes y Alef-uno y su Adenda. Recuerdo las cinco preguntas-zen del comienzo:
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
La pregunta cero refiere a la cuestión de la consistencia lógica, a la que aludí en la Adenda: un concepto lógicamente inconsistente no es aceptable en la "matemática ficcional".
De Shelock Holmes y Harry Potter (preguntas 2 y 3) ya he hablado extensamente. Acerca de la pregunta 1, la relaciono con esta cuestión ¿es el 0 un número natural?
La pregunta 4 se relaciona el hecho de que, puesto que en la matemática ficcional la verdad depende del consenso entre seres humanos mortales, entonces sus verdades no tienen un carácter universal e inmutable, sino que cambian con el tiempo.
¿Usa Papá Noel un traje rojo (esencialmente rojo)? La respuesta es que originalmente no era así. En sus inicios, el traje de Papá Noel era blanco, pero a principios del siglo XX la Coca Cola se apropió del peronaje para su publicidad y como el logo de la Coca Cola es rojo, entonces vistió de ese color a Papá Noel. Hoy en día el traje es rojo, pero no siempre fue así, de la misma manera en que hubo un día en que el Axioma de Elección era "falso", pero hoy día es "verdadero".
Cierro con una última pregunta: ¿Sherlock Holmes es inglés, o era inglés?
Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno
Se llama Hipótesis del Continuo a la conjetura (formulada por Georg Cantor a fines del siglo XIX) que dice que Alef-uno = 2^(Alef-cero).
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
La cuadratura del círculo y el ajedrez
En el ajedrez el alfil mueve en diagonal y por lo tanto (como es bien sabido por todos los ajedrecistas) nunca cambia de de color de casilla. Es decir, si un alfil está en una casilla blanca y es movido respetando las reglas del juego, no importa cuántos movimientos se hagan, la pieza terminará en una casilla blanca.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.
Sherlock Holmes y Alef-uno
Llamo (la denominación es puramente personal) pregunta-zen a una pregunta que tiene como propósito motivar la reflexión, una pregunta en la que no importa la respuesta en sí sino el proceo que lleva hasta esa respuesta, o las líneas colaterales de razonamiento que ese proceso genera (de hecho, dar una respuesta definitiva mata el objetivo de la pregunta).
Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?
Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?
Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.
Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.
O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).
Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).
Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.
En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.
¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.
Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.
Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.
Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.
Nota:
(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.
Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?
Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?
Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.
Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.
O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).
Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).
Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.
En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.
¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.
Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.
Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.
Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.
Nota:
(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.
Pregúntenzen
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
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2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
Receta #17 : Bizcocho de café: Horneando el corazón durante LA ESPERA
La espera ... Prepara tu corazón, hornea todos los buenos sentimientos las emociones, las esperanzas, los sueños, las metas y las reflexiones para darle paso a la llegada de Jesús a tu corazón para un renacimiento, para la creación de un nuevo ser... un renacimiento para Dios.
¿Vas para el supermercado? Llévate la lista:
Ingredientes
16 onzas de mantequilla
2 tazas de harina
5 huevos
1 1/2 tazas de leche (caliente)
1 taza de piña (picada en trocitos)
2 cucharadas de nueces ralladas
1 cucharadita de polvo para hornear
1 cucharada de café instantáneo
1 cucharadita de esencia de vainilla
2 tazas de azúcar
Manos a la obra...
Batir la mantequilla con el azúcar y cuando estén cremosos agregue los huevos de uno en uno. Dejar de batir y con una cuchara de madera, mezcle suavemente la harina cernida con el polvo de hornear (levadura), la leche con el café y los demás ingredientes. Vierta en un molde previamente engrasado y enharinado. Ponga el horno a fuego fuerte 220º durante 1 hora con el calor abajo. Cuando esté tibio se desmolda. Agregue chorritos de glacé por encima. Y adorne para disfrutarlo :)
Aprovecha para lucir este postre en Adviento. Invita a tus amigos y familiares a leer o a meditar sobre el adviento en tu casa. Prepárate para la verdadera Navidad, esa en que Jesús nace en tu corazón. Recuerda que lo mejor en esta Navidad está en tu corazón, los detalles en Paulinas.
PD
Receta de glacé
Ingredientes:
200 gramos de azúcar
zumo de limón
media taza de agua
Instrucciones:
En un recipiente se pone azúcar y media taza de agua, se acerca al fuego y se prepara un almíbar fuerte. En ese momento se retira del fuego y se le añade un poco de zumo de limón. Conuna cuchara de madera se trabaja rápidamente para que espese y quede de color blanco; al enfriar el almíbar con el limón se va quedando más espeso. Con este preparado se baña el bizcocho...