(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
Introducción
Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.
Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.
El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.
¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.
Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.
¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.
En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.
(Continuará...)
Paradojas del infinito (I)
Decimos que una propiedad define a un número si esa propiedad es satisfecha solamente por ese número y por ningún otro objeto matemático (observemos, dicho sea de paso, que acabo de definir el concepto de definición).
Para evitar ambigüedades, admitiremos solamente definiciones que usen las letras del alfabeto castellano, más los dígitos del 0 al 9 y los símbolos de puntuación usuales. Debe entenderse, por otra parte, que estamos hablando de números reales y no sólo de enteros o racionales.
Algunos ejemplos:
"Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro" define al númeroi Pi
"Es el número ocho quintos" define al número 8/5.
"Es el resultado de sumar 2 más 3" define al número 5.
Diremos que un número es definible si existe alguna propiedad que lo define. Los ejemplos que acabamos de ver nos dicen que Pi y 8/5 son números definibles. En realidad todos los números racionales son definibles, aunque también son definibles algunos irracionales, como el ya mencionado Pi. También son definibles, por ejemplo, el número e, la raíz cuadrada de dos y el número de oro.
Incluyamos en este concepto a todas las definiciones concebibles, pasadas, presentes o futuras. Es decir, definible será cualquier número que alguna vez haya sido definido (mediante una definición traducible al alfabeto castellano) o que pudiera llegar a ser definido en algún momento del futuro (no importa si esa definición alguna vez es escrita realmente, basta con que sea expresable en potencia).
Llamaremos inefables a los números no definibles. Es decir, son inefables aquellos números que nunca han sido definidos y que nunca, ni siquiera en teoría, podrían llegar a ser definidos en cualquier época o lugar. La pregunta es ¿existen números inefables? La respuesta es que sí existen, veamos por qué.
Para evitar ambigüedades, admitiremos solamente definiciones que usen las letras del alfabeto castellano, más los dígitos del 0 al 9 y los símbolos de puntuación usuales. Debe entenderse, por otra parte, que estamos hablando de números reales y no sólo de enteros o racionales.
Algunos ejemplos:
"Es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro" define al númeroi Pi
"Es el número ocho quintos" define al número 8/5.
"Es el resultado de sumar 2 más 3" define al número 5.
Diremos que un número es definible si existe alguna propiedad que lo define. Los ejemplos que acabamos de ver nos dicen que Pi y 8/5 son números definibles. En realidad todos los números racionales son definibles, aunque también son definibles algunos irracionales, como el ya mencionado Pi. También son definibles, por ejemplo, el número e, la raíz cuadrada de dos y el número de oro.
Incluyamos en este concepto a todas las definiciones concebibles, pasadas, presentes o futuras. Es decir, definible será cualquier número que alguna vez haya sido definido (mediante una definición traducible al alfabeto castellano) o que pudiera llegar a ser definido en algún momento del futuro (no importa si esa definición alguna vez es escrita realmente, basta con que sea expresable en potencia).
Llamaremos inefables a los números no definibles. Es decir, son inefables aquellos números que nunca han sido definidos y que nunca, ni siquiera en teoría, podrían llegar a ser definidos en cualquier época o lugar. La pregunta es ¿existen números inefables? La respuesta es que sí existen, veamos por qué.
Hace ya más de cien años Georg Cantor demostró que el conjunto de los números reales es no numerable. Es decir, es imposible establecer una correspondencia uno-a-uno entre ese conjunto y el conjunto de los números naturales (que es el formado por los números 0, 1, 2, 3,...). Al conjunto de los números reales corresponde un orden de infinitud superior al del conjunto de los números naturales.
Ahora bien, puede probarse sin dificultad que el conjunto de todas las definiciones posibles es numerable. El orden de infinitud de este conjunto es el mismo que el del conjunto de los números naturales.
Por lo tanto, en un sentido bien definido, hay más números reales que definiciones posibles y en consecuencia es imposible que a todo número real le corresponda una definición (pasada, presente o futura). Hemos probado así que existen números inefables (de hecho, que existen infinitos números inefables).
¿Por ejemplo...? No hay ejemplos. Por su propia naturaleza, es imposible señalar un número inefable en concreto. Todo número que seamos capaces de mencionar es, inevitablemente, definible. Hemos probado así la existencia de un conjunto infinito de números de los cuales somos (y seremos por siempre) incapaces de señalar ni siquiera un ejemplo.
Pero sí podemos probar propiedades de estos números inefables. Por ejemplo la siguiente:
Propiedad: la suma de un número inefable más un número definible es un número inefable.
Demostración: Sea x un número inefable cualquiera y sea q un número definible cualquiera. Tenemos que probar que z = x + q es inefable.
Supongamos, por el absurdo, que z fuera definible. Entonces, dado que x = z - q, entonces x sería definible porque se lo podría definir como "Es el resultado de restar el número que cumple que (cópiese aquí la definición de z) menos el número que cumple que (cópiese aquí la definición de q)". Esto contradice la suposición de que x es inefable. Por lo tanto z también es inefable. Q.E.D.
Ahora bien, ¿qué queremos decir en una demostración cuando decimos "sea x un número inefable cualquiera"? ¿Qué quiere decir "cualquiera"?
Suele entenderse que el uso de la palabra "cualquiera" indica que lo que se está haciendo es un "razonamiento genérico", un razonamiento que puede repetirse en cada caso particular. Como si dijéramos "reemplace x por cualquier número inefable y verá que todo lo que se dice después es cierto".
Pero... ¿Cómo puede aceptarse en este caso una tal interpretación si es imposible (y será por siempre imposible) tomar ni siquiera un ejemplo particular? ¿Es válida la demostración de la propiedad? ¿Tiene sentido el concepto de número inefable, a pesar de que la Teoría de Conjuntos nos permite demostrar que existen infinitos de tales números? Preguntas que quedan planteadas para quien quiera reflexionar sobre ellas.
Nota: Como se acota en el primer comentario, en efecto las definiciones deben ser de longitud finita. En principio no me pareció necesario aclararlo, ya que se sobreentiende que las definiciones son textos escritos (y leídos) por humanos y todos los textos escritos (y leídos) por humanos tienen, inevitablemente, una longitud finita.
Nótese que "Es el número 0,333...", que tiene una longitud finita (ya que abarca exactamente 18 símbolos, sin contar el acento y los espacios) no es una definición, a menos que se aclare qué significan los puntos suspensivos.
Consejo práctico para no desesperarse, y de paso un mochahelado para regerar fuerzas :)
No es ningún secreto que todos tengamos "esos grises días" en los que todos nos sentimos como decía una muy querida amiga... "como servilleta mojada". Y bueno no siempre las cosas salen como uno cree que pueden salir y mucho menos como uno quisiera que fueran.A veces las cosas nos parecen tan obvias que es imposible que la gente sea incapaz de verlas. Pero es así todos tenemos un par de ojos distintos... y por supuesto las prioridades que controlan el enfoque de esa mirada apuntan hacia otras cosas y sin duda se verán en el mismo punto en el que nos sentimos nosotros. Para los demás de igual manera todo es tan obvio que nadie es capaz de verlo. Así que esa interacción de individualidades es lo que nos hace sentir a veces frustrados y a raíz de la frustración viene la tristeza.
Pero ¿habrá algún rayo de luz? A veces parece que no lo hay. Pero yo creo que lo mejor que podemos hacer es buscar un punto de empatía, alguna semejanza, alguna meta común y apostar nuestros esfuerzos en esa área. En encontrar algo que nos una para seguir caminando, trabajando... Esto no siempre va a resultar... algunas veces hasta el punto de empatía o similitud es difícil de encontrar... entonces no queda otra cosa que "no hacer". Y no hacer no significa rendirse, significa esperar con paciencia el momento oportuno porque llegará en su debido momento en su debida medida.
Como decía el Padre Pío: "Para cualquier problema, orar, esperar y no angustiarse"
En lo que eso pasa nos halamos los pelos y lloramos bastante así que... te invitamos a que compartas esta receta con alguien que tenga un problema... y que trates de ayudar a conseguirle con paciencia una solución en conjunto con esa persona. Como decía mi abuela "se empieza por los nudos flojos para que se desaten los fuertes". En lo que ese gran problema se ablanda puedes ir trabajando para mejorar otras áreas. Sentirás satisfacción de ayudar y mucha de esa frustración conseguirá un espacio de desahogo.
¿Qué necesitas?
Ingredientes
1 bola de helado de café por ración
crema de cacao
nueces
un pedazo de torta o bizcocho de vainilla u otro de su preferencia de sabor suave preferiblemente para que puedas sentir el sabor a café.
chocolate semidulce por ración
¿Las instrucciones? Si eres laico aquí. Si eres presbítero aquí.
¡Ven, visítanos!
Paulinas
787-765-4390 Calle Arzuaga 164
787-763-5441 San Francisco Plaza 201
Recomendaciones de la semana:
Autor: Gustavo E. JamutCómo conservar la paz en medio de las dificultades.
Lleno de oraciones, meditaciones y consejos este libro es una herramienta vital en cualquier ámbito de la vida. En el trabajo, en el hogar, en la iglesia. Un libro sencillo de leer, tamaño bolsillo para que lo lleves donde haga falta.
Si quieres más información escríbenos: paulinaspr.vm@gmail.com o para por cualquiera de nuestras librerías para que lo examines sin compromiso alguno. Ten un lindo día :)
Hasta luego :)
Con profundo dolor lametamos informar que tanto los Cafecitos para Laicos como Charla y Café para Presbíteros han sido cancelados para el año 2010. Lamentamos mucho no continuar con ellos, agradecemos a las personas que se interesaron y a los que asistieron fielmente. Esperamos que en alguna próxima ocasión podamos contar con la presencia de más personas para poder crear este espacio que es de ustedes. Dios les bendice.
Adenda a Pregúntenzen
Con esta entrada quiero cerrar el círculo que comenzó con Pregúntenzen, y siguió con Sherlock Holmes y Alef-uno y su Adenda. Recuerdo las cinco preguntas-zen del comienzo:
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
La pregunta cero refiere a la cuestión de la consistencia lógica, a la que aludí en la Adenda: un concepto lógicamente inconsistente no es aceptable en la "matemática ficcional".
De Shelock Holmes y Harry Potter (preguntas 2 y 3) ya he hablado extensamente. Acerca de la pregunta 1, la relaciono con esta cuestión ¿es el 0 un número natural?
La pregunta 4 se relaciona el hecho de que, puesto que en la matemática ficcional la verdad depende del consenso entre seres humanos mortales, entonces sus verdades no tienen un carácter universal e inmutable, sino que cambian con el tiempo.
¿Usa Papá Noel un traje rojo (esencialmente rojo)? La respuesta es que originalmente no era así. En sus inicios, el traje de Papá Noel era blanco, pero a principios del siglo XX la Coca Cola se apropió del peronaje para su publicidad y como el logo de la Coca Cola es rojo, entonces vistió de ese color a Papá Noel. Hoy en día el traje es rojo, pero no siempre fue así, de la misma manera en que hubo un día en que el Axioma de Elección era "falso", pero hoy día es "verdadero".
Cierro con una última pregunta: ¿Sherlock Holmes es inglés, o era inglés?
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
La pregunta cero refiere a la cuestión de la consistencia lógica, a la que aludí en la Adenda: un concepto lógicamente inconsistente no es aceptable en la "matemática ficcional".
De Shelock Holmes y Harry Potter (preguntas 2 y 3) ya he hablado extensamente. Acerca de la pregunta 1, la relaciono con esta cuestión ¿es el 0 un número natural?
La pregunta 4 se relaciona el hecho de que, puesto que en la matemática ficcional la verdad depende del consenso entre seres humanos mortales, entonces sus verdades no tienen un carácter universal e inmutable, sino que cambian con el tiempo.
¿Usa Papá Noel un traje rojo (esencialmente rojo)? La respuesta es que originalmente no era así. En sus inicios, el traje de Papá Noel era blanco, pero a principios del siglo XX la Coca Cola se apropió del peronaje para su publicidad y como el logo de la Coca Cola es rojo, entonces vistió de ese color a Papá Noel. Hoy en día el traje es rojo, pero no siempre fue así, de la misma manera en que hubo un día en que el Axioma de Elección era "falso", pero hoy día es "verdadero".
Cierro con una última pregunta: ¿Sherlock Holmes es inglés, o era inglés?
Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno
Se llama Hipótesis del Continuo a la conjetura (formulada por Georg Cantor a fines del siglo XIX) que dice que Alef-uno = 2^(Alef-cero).
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
La cuadratura del círculo y el ajedrez
En el ajedrez el alfil mueve en diagonal y por lo tanto (como es bien sabido por todos los ajedrecistas) nunca cambia de de color de casilla. Es decir, si un alfil está en una casilla blanca y es movido respetando las reglas del juego, no importa cuántos movimientos se hagan, la pieza terminará en una casilla blanca.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.
Si yo dijera que encontré una secuencia de movimientos, todos legales, sin trampas, gracias a los cuales un alfil que comienza una partida en una casilla blanca, la termina en una casilla negra, es seguro que estaría equivocado. No haría falta revisar la supuesta secuencia de movimientos para verificar que hay un error, la existencia de ese error puede asegurarse con toda certeza simplemente porque es imposible que un alfil pase de una casilla blanca a una negra (respetando las reglas, sin hacer trampas).
Una situación similar ocurre en el caso de la cuadratura del círculo. Veamos por qué.
El problema de la cuadratura del círculo pide, dado un círculo, construir con regla no graduada y compás un cuadrado que tenga la misma área que el círculo dado. [Para los matemáticos de la Antigua Grecia esto equivalía a calcular el área del círculo, de allí la importancia que para ellos tenía el problema.]
Para estar seguros de que hemos comprendido correctamente la situación, profundicemos en el significado de los términos usados en el planteo del problema. Para comenzar, precisemos un poco más el planteo en sí: Dado un segmento R (pensado como el radio de un círculo) se pide obtener, usando solamente regla no graduada y compás, un segmento L, de modo tal que el cuadrado de lado L tenga la misma área que el círculo de radio R. [Un simple cálculo nos muestra que L debe medir raíz cuadrada de pi veces la longitud de R.]
Precisemos, como decía ante, el significado de los términos:
¿Qué significa "obtener un segmento usando solamente regla no graduada y compás"?
Obtener un segmento es determinar la posición de sus extremos (para luego trazar, con la regla, el segmento en sí).
¿Cómo se determina la posición de un punto?
Inicialmente, los únicos puntos cuya posición está determinada son los dos extremos del segmento inicial. Hay dos operaciones permitidas:
1. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar el segmento que los une, o se puede prolongar ese segmento (o un segmento ya trazado previamente) una distancia indeterminada (no se puede trazar un segmento de una longitud específica, esto es lo que significa que la regla sea "no graduada").
2. Si se ha determinado la posición de dos puntos, se puede trazar la circunferencia que tiene a uno de esos puntos como centro y que pasa por el otro punto. [El compás griego no era rígido (como sí lo es el compás que usan hoy en día los escolares de todo el mundo). Después de trazar un círculo el compás griego colapsaba y se perdía así la información de la apertura usada. Una instrucción como "manteniendo la misma apertura del compás, trace un arco con otro centro" no era, en principio, realizable. Sin embargo, la Proposición 2 de los Elementos demuestra que el compás colapsable permite hacer las misma construcciones que el compás rígido.]
Las operaciones 1 y 2 son las dos únicas permitidas [La posibilidad de realizarlas está garantizada por los postulados 1, 2 y 3 de los Elementos]. Un punto del plano queda determinado cuando se lo obtiene como la intersección de dos circunferencias, de dos segmentos o de una circunferencia y un segmento, trazados todos ellos según se indican las operaciones 1 y 2.
De este modo el problema queda definido con toda excatitud: Dados dos puntos (extremos del segmento R), aplicando una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2, hay que obtener dos puntos cuya distancia sea igual a raíz cuadrada de pi veces la distancia de los puntos iniciales (o sea, raíz cuadrada de pi veces la longitud de R).
Imaginemos que ubicamos los dos puntos iniciales en un sistema de coordenadas cartesianas. Podemos suponer que las coordenadas son elegidas de tal modo que los puntos iniciales son el (0,0) y el (1,0). El problema consiste en obtener dos puntos cuya distancia sea igual a la raíz cuadrada de pi.
Así planteado, el problema es idéntico en su estructura lógica a la cuestión del movimiento del alfil. Digamos que inicialmente el alfil está en una esquina del trablero (en una casilla blanca) y que "obtenemos" una casilla cuando el alfil, haciendo movimientos legales, termina su recorrido en ella.
¿Qué casillas podemos obtener? Respuesta: solamente podemos obtener casillas blancas. ¿Podemos obtener una casilla negra? Respuesta: No. ¿Y si alguien nos muestra una secuencia de movimientos que termina en una casilla negra? Respuesta: En esa secuencia hay un error, o una trampa. ¿Puede el afil obtener dos casillas que tengan en común un lado? Respuesta: No.
Todas las respuestas del párrafo anterior son claras, concretas y nadie dudaría de su veracidad. Como dije antes, en el problema de la cuadratura del círculo se da una situación similar a la del alfil. Sólo que ahora el tablero es el plano cartesiano y cada punto es una casilla. En lugar de una esquina del tablero tenemos dos puntos iniciales -el (0,0) y el (1,0)-, y los movimientos legales están dados por las operaciones 1 y 2 descriptas más arriba. La pregunta: ¿Es posible que las operaciones legales nos permitan caer en dos casillas (léase obtener dos puntos) cuya distancia sea la raíz cuadrada de pi?
¿Qué puntos nos permiten obtener las operaciones 1 y 2? Para responder la pregunta necesitamos una definición. Se dice que un número es algebraico si es raíz de un polinomio (no nulo) con coeficientes enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número algebraico, ya que es raíz del polinomio x^2 - 2. Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.
Se puede demostrar que si partimos de los puntos (1,0) y (0,0) y aplicamos una cantidad finita de veces las operaciones 1 y 2 siempre obtendremos puntos cuyas coordenadas son ambas números algebraicos. [En realidad, no se pueden obtener todos los núemros algebraicos, solamente los algebraicos de cierto tipo, pero esta distinción no es importante a los efectos de la cuadratura del círculo.]
No se pueden obtener puntos que tengan alguna coordenada trascendente, de la misma forma que no se puede lograr que el alfil pase de una casilla blanca a una negra.
La demostración de que sólo se pueden obtener números algebraicos excede las intenciones de esta entrada. Pero sí se puede dar una idea general. Si traducimos algebraicamente las operaciones 1 y 2, veremos que las coordenadas de los puntos que se pueden obtener surgen de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales (esto se debe a que las circunferencias se describen mediante expresiones polinómicas de grado 2 en dos variables y las rectas se describen mediante expresiones lineales). Las coordenadas de los puntos obtenibles son, entonces, soluciones de ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, números algebraicos. [Los coeficientes de esas ecuaciones serán siempre números algebraicos y lo mismo sus soluciones.]
Puede probarse, finalmente, que la distancia entre dos puntos con coordenadas algebraicas es también un número algebraico. En resumen: las operaciones 1 y 2 solamente permiten obtener segmentos de longitud algebraica (de la misma forma que el alfil sólo permite obtener casillas del mismo color que la inicial). Así como el alfil no permite obtener dos casillas vecinas por un lado, de la misma forma (y esencialmente por el mismo motivo) las operaciones 1 y 2 no permiten opbtener un segmento con una longitud trascendente -partiendo de los puntos (0,0) y (1,0)-.
Ahora bien, como es bien sabido, en 1882 Ferdinand Lindemann demostró que pi es trascendente. De esto se deduce fácilmente que la raíz cuadrada de pi también es trascendente. Por lo tanto es imposible obtener un segmento de longitud raíz cuadrada de pi y el problema de la cuadradtura del círculo es irresoluble. Tan irresoluble, insisto en decir, como el problema que nos pide llevar un alfil de una casilla blanca a una negra (siguiendo las reglas del ajedrez).
Sin embargo hay quienes insisten en decir que han logrado cuadrar el círculo. Siempre me he preguntado el proqué de esta insistencia. ¿Es por simple ignorancia? ¿Es una idea de omnipotencia ("nada es imposible para mí")? ¿Es por desconocimiento del significado de la palabra "imposible" (que a veces en el habla cotidiana es usada como sinónimo de "muy difícil")? No lo sé, pero los cuadradores del círculo siguen apareciendo, pese a que todos sus intentos están condenados de antemano al fracaso. Probablemente esos cuadradores no intentarían llevar un alfil de una casilla blanca a una negra, pero sí intentarán la tarea igualmente imposible de construir (siguiendo las reglas del problema) un segmento de longitud raíz cuadrada de pi.
El ejemplo más reciente (hasta donde conozco) puede encontarse este blog (cuya credibilidad queda ahora en entredicho). Es interesante analizar la presentación de la entrada:
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.
Un Joven dominicano estudiante de la universidad autonoma de santo domingo (UASD), ha resuelto dicho problema matemático, su nombre es Casimiro Tamara Pérez, estas fueron sus conclusiones.
Observemos que comienza hablando del "problema matemático, irresoluble de geometría" para luego decir "Un joven dominicano [...] ha resuelto dicho problema". La pregunta inevitable: ¿es irresoluble o ha sido resuelto? ¿Qué significa "irresoluble" para el autor?
En medio del texto cae además en la confusión de la que hablaba antes: "un problema muy difícil o imposible de resolver". "Imposible", en matemáticas, no es lo mismo que "muy difícil". Que al tirar un dado 10 veces, en todas ellas salga un 6 es difícil (o, mejor dicho, poco probable), pero no es imposible. La cuadratura del círculo sí es imposible.
Acerca de la supuesta cuadratura en sí, es obvio que el Sr. Casimiro Tamara Pérez ha cometido un error (como ya dije, no sería necesario leer su trabajo para saberlo, de la misma forma que inevitablemente habría un error en una secuencia de movimientos de alfil que lleven la pieza de una casilla blanca a una negra). Pero en este caso el error es evidente y el mismo Tamara Pérez se encarga de exponerlo con claridad cuando afirma que si su cuadratura del círculo fuera correcta entonces el verdadero valor de pi sería 3,1419619... Dado que pi vale 3,141592... entonces su construcción es incorrecta.
Termino la entrada haciendo mías unas palabras tomadas de un artículo que expone el tema de la cuadratura del círculo (pido disculpas por no recordar la referencia exacta): si Ud. cree haber resuelto el problema, no me envíe su solución. Seguro que tiene un error, tal vez yo no sería capaz de encontrarlo, pero el error, indudablemente, estará allí.
Adenda del 7.1.10: Recomiendo la lectura de este artículo, escrito por Claudio Sánchez, y que fue la motivación de esta entrada. Allí, a modo de comentario, aparece esta respuesta del Sr. Casimiro Tamara:
Señor Gustavo P. soy un simple estudiante que apenas ha comenzado su carrera. usted al igual que todos me cuestiona como si yo fuera matematico, realmente no lo soy. si usted quiere cuestionarme algo, que sea mi imaginacion, la cual gracias a Dios fue empleada en el desarrollo de dicho problema. Por qué en vez de entrar en dudas sin antes ver el trabajo, usted no lo analiza y despues, me dice todo lo que merece un tonto por tratar de resolver el problema. usted como licenciado si me puede sacar de esta duda. tengo ya mucho tiempo esperando que alguien lo haga, pero nadie se quiere arriesgar. quiero que sepa que hasta que nadie me saque de la duda seguiré pa’ lante. el trabajo es bastante largo y lo dividi en varias partes.