(Del diario Clarín de Buenos Aires, miércoles 21 de julio de 2010.)
Si Boca gana todos los partidos, más que candidato será campeón...
La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)
(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
La duplicación de la esfera
Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).
La duplicación de la esfera
Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).
Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).
Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".
Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.
En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.
Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.
¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.
Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.
Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...
Solidaridad con la Ley de Arizona
Países se solidarizan contra ley de Arizona Ginebra
Once países firmaron ayer en Ginebra, Suiza, a instancias de México, una declaración en la que muestran su preocupación y condena por la ley de Arizona, la cual consideran que tiene un “espíritu racista, xenófobo y contrario a la inmigración de cualquier tipo”.
Los países signatarios fueron, además de México, Uruguay, Panamá, Ecuador, Bolivia, Guatemala, Cuba, Turquía, Senegal, Micronesia y Chile.
“Queremos agradecer a los países signatarios su colaboración en la lucha por la derogación de esta ley xenófoba y racista”, manifestó ayer en Ginebra el vicepresidente del Parlamento de México, Felipe Solís Acero, al final de la Asamblea de Presidentes de Parlamentos, que tuvo lugar en esa ciudad helvética los últimos tres días.
Además de lamentar el “espíritu en contra de la inmigración en general y de la irregular en particular”, la declaración reconoce los “esfuerzos” del presidente de EE. UU., Barack Obama, por “su compromiso personal en impulsar una reforma migratoria integral”.
La Ley SB 1070, aprobada en abril último por Arizona y que entrará en vigor el 29 de julio, permite a las fuerzas de seguridad estatales detener a cualquier sospechoso de no tener regularizado su estatus migratorio.
A iniciativa de México, 11 delegaciones —entre las más de cien presentes en Ginebra— y el presidente de la Asamblea Parlamentaria de Europa, el turco Mevlüt Çavusoglu, firmaron el documento, que insta a la comunidad internacional “a alzar su voz contra la ley de Arizona y cualquier otra medida discriminatoria”.
Once países firmaron ayer en Ginebra, Suiza, a instancias de México, una declaración en la que muestran su preocupación y condena por la ley de Arizona, la cual consideran que tiene un “espíritu racista, xenófobo y contrario a la inmigración de cualquier tipo”.
Los países signatarios fueron, además de México, Uruguay, Panamá, Ecuador, Bolivia, Guatemala, Cuba, Turquía, Senegal, Micronesia y Chile.
“Queremos agradecer a los países signatarios su colaboración en la lucha por la derogación de esta ley xenófoba y racista”, manifestó ayer en Ginebra el vicepresidente del Parlamento de México, Felipe Solís Acero, al final de la Asamblea de Presidentes de Parlamentos, que tuvo lugar en esa ciudad helvética los últimos tres días.
Además de lamentar el “espíritu en contra de la inmigración en general y de la irregular en particular”, la declaración reconoce los “esfuerzos” del presidente de EE. UU., Barack Obama, por “su compromiso personal en impulsar una reforma migratoria integral”.
La Ley SB 1070, aprobada en abril último por Arizona y que entrará en vigor el 29 de julio, permite a las fuerzas de seguridad estatales detener a cualquier sospechoso de no tener regularizado su estatus migratorio.
A iniciativa de México, 11 delegaciones —entre las más de cien presentes en Ginebra— y el presidente de la Asamblea Parlamentaria de Europa, el turco Mevlüt Çavusoglu, firmaron el documento, que insta a la comunidad internacional “a alzar su voz contra la ley de Arizona y cualquier otra medida discriminatoria”.
MARIHUANA EN CALIFORNIA -
Aprueban producción industrial de marihuana
WASHINGTONEl concejo de la ciudad de Oakland, en California, aprobó un plan que permitirá el cultivo industrial a gran escala de marihuana y su comercialización.
El cuerpo político tomó esta decisión la medianoche del martes último, por cinco votos contra dos y una abstención; esta permitirá la producción, el procesamiento y el empaquetado de la yerba.
Al final se impuso el criterio de quienes ven en la resolución una importante fuente de ingresos y empleos para esa ciudad.
La decisión se adoptó después de un largo debate en el que representantes de los pequeños cultivadores se quejaron de que estos tradicionales productores iban a quedar relegados del negocio.
Según informa el diario The San Francisco Chronicle, los concejales tomaron en cuenta los temores de los cultivadores de cannabis en pequeña escala y prometieron que antes de fin de año establecerán reglas más específicas para las plantaciones pequeñas y medianas.
El Gobierno de Estados Unidos calcula que la producción de marihuana en ese país creció de casi mil toneladas en 1981 a unas 10 mil en el 2006.
El sitio Drugscience.org precisa que la producción nacional de marihuana tiene un valor de unos US$35 mil 800 millones.
El crítico más influyente de las nuevas normas fue Steve DeAngelo, propietario del Centro de Salud Harborside de Oakland, el mayor dispensario de marihuana médica en ese país.
Su clínica compra marihuana de unos 500 cultivadores pequeños, por lo cual Harborside ofrece alrededor de cien variedades de esa yerba en cualquier momento.
WASHINGTONEl concejo de la ciudad de Oakland, en California, aprobó un plan que permitirá el cultivo industrial a gran escala de marihuana y su comercialización.
El cuerpo político tomó esta decisión la medianoche del martes último, por cinco votos contra dos y una abstención; esta permitirá la producción, el procesamiento y el empaquetado de la yerba.
Al final se impuso el criterio de quienes ven en la resolución una importante fuente de ingresos y empleos para esa ciudad.
La decisión se adoptó después de un largo debate en el que representantes de los pequeños cultivadores se quejaron de que estos tradicionales productores iban a quedar relegados del negocio.
Según informa el diario The San Francisco Chronicle, los concejales tomaron en cuenta los temores de los cultivadores de cannabis en pequeña escala y prometieron que antes de fin de año establecerán reglas más específicas para las plantaciones pequeñas y medianas.
El Gobierno de Estados Unidos calcula que la producción de marihuana en ese país creció de casi mil toneladas en 1981 a unas 10 mil en el 2006.
El sitio Drugscience.org precisa que la producción nacional de marihuana tiene un valor de unos US$35 mil 800 millones.
El crítico más influyente de las nuevas normas fue Steve DeAngelo, propietario del Centro de Salud Harborside de Oakland, el mayor dispensario de marihuana médica en ese país.
Su clínica compra marihuana de unos 500 cultivadores pequeños, por lo cual Harborside ofrece alrededor de cien variedades de esa yerba en cualquier momento.
Alejandro Rozitchner
afondo
El filósofo Alejandro Rozitchner reflexiona sobre una de las muchas costumbres argentinas: el refunfuñeo permanente o la "mentalidad taxista".
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Este es el artículo que escribió el filósofo para Yahoo, ( y cobró bien seguramente ) y que reproducimos completo, porque no tiene desperdicio:
"Me tiene cansado, harto, la tendencia argentina a producir un efecto de falsa inteligencia a través de la crítica. El ejercicio uno de la mente nacional, su función elemental, su abc, su leche de pecho, sus palotes elementales, es el arte de la objeción, la formulación de una crítica o una sospecha, el señalamiento del punto en el que alguna cosa no anda o no va a andar. Sí, es la "mentalidad taxista" (suena como marxista, se le parece, pero es otra forma de impotencia, de estilo nacional).
"Me refiero al canalla normal, que prefiere descreer y siente que así es piola. Al que hace mohines de reparo y descreimiento, al escéptico natural, al que cultiva su fe en el fracaso como si fuera algo profundo. No, claro, no somos todos así. Sí, hay mucho argentino y argentina inteligente de modo más verdadero, capaz de lidiar con complejidades sin tirar al chico con el agua sucia, pudiendo ejercer el arte del hacer, del buscarle la vuelta, del querer vivir aunque el mundo no sea fácil. Hay muchas personas que viven su vida dando sus batallas, sin dejarse llevar por este vicio compulsivo de la crítica. No se engañan, saben quién trabaja y quién miente, quién sólo critica y quién aporta. Quién tiende a mentir y a tapar sus mentiras con enojos (sí, hablo de los Kirchner y de sus manipulaciones constantes, de la información, la economía y la justicia), y quién tiende a generar condiciones de crecimiento reales.
"El crítico cree que, como la realidad no es como él querría que fuera, su capacidad debe expresarse señalando el error presente en las cosas. Mientras más error señale, más inteligente se cree. Si no puede afirmar nada, si logra descreer de todo, de todo absolutamente, anular todas las opciones, ver detrás de cada cosa una trampa, una amenaza, una mala fe escondida, se siente un genio. Y muchos lo festejan como tal. Es una inteligencia que mide su fuerza a partir de su poder destructivo. Para quienes viven en esta costumbre patológica, el inteligente es ese descontento criticón, cuyos aires de superioridad no tienen relación con ningún logro o aporte real, pero que hace creer a los demás que tiene un potencial tremendo. Nunca se verifica ese potencial, aunque tanta capacidad para detectar fallas hace suponer una inteligencia prodigiosa. Gran malentendido.
"Gran malentendido, porque esa posición defensiva y arrogante no produce nunca nada. O sí, produce: desazón, desencuentro, amargura, escepticismo, aislamiento, inhibición, depresión, falta de vitalidad, pérdida de vida, de sentido, desprecio de las posibilidades plásticas de la realidad. Prefiero a los boludos que tratan de hacer cosas y se equivocan (a los inocentes, tan criticados, que se animan a confiar, a crear, a buscar, a entregarse a la vida sin medir todos sus pasos constantemente) que a esos inteligentes sin inteligencia, a esos críticos pretenciosos y carentes de vitalidad.
"Todo ciudadano que se precie tiene opiniones formadas acerca de cómo tendrían que ser las cosas, aunque luego no sea capaz de producir aporte alguno. Vivimos cultivando el arte de la objeción, señalando siempre frente a cada fenómeno el punto en el que este falla o podría fallar, como si eso fuera pensar, como si eso fuera ser inteligente: no lo es. Ese uso del pensamiento dista mucho de ser una aplicación valiosa, es más bien una estrategia de empobrecimiento constante, de negación de la realidad, una forma de querer siempre estar en otro lado y en otro momento, una manera de hurtarse y de no ser. Claro, por esa vía te salvás de equivocarte, pero porque te salvás de algo mucho más importante: de vivir.
"Un claro ejemplo de esta mediocridad crítica es la mayoría de las intervenciones en los foros de Internet, o incluso en los comentarios en los blogs o en los artículos como éste. Hay un cardumen de maledicientes que no tienen otra cosa que hacer con sus vidas que basurear resentidamente todo lo que no huela tan mal como su mundo interno. Seguramente no son capaces de generar ideas, ni textos, ni acciones, ni proyectos, simplemente se desquitan tirando tierrita encima de las posibilidades ajenas.
"La visión de la crítica como suprema inteligencia avala tales costumbres como si fueran un aporte. No lo son. Aporte es sumar, con inteligencia, valor. No es sospechar, es construir; no es seguir diciendo lo que no se quiere, es animarse y poder decir qué cosa sí se quiere y colaborar con el logro de la cosa señalada. No digas más que es lo que no hay que hacer, tratá de decirme qué sí te parece bien. Y no te olvides del cómo, si bien tiene que ser un cómo realista: no te escudes en el sueño utopista, que sirve para escribir poemas malos pero no suma nada en el mundo de la vida real.
"El gobierno nacional cree en esta inteligencia crítica, en esta falsa inteligencia impotente, y recolecta adhesiones en quienes padecen de su misma impotencia creativa. Viven a costa de sus enemigos, sólo se orientan existencialmente peleando contra alguien a quien poder llamar "malo". Sin ese recurso no saben qué hacer, ni quiénes son, ni qué quieren, ni cómo se llaman. Es un mal nacional, tenemos que aprender a ser de otra manera".
El filósofo Alejandro Rozitchner reflexiona sobre una de las muchas costumbres argentinas: el refunfuñeo permanente o la "mentalidad taxista".
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Este es el artículo que escribió el filósofo para Yahoo, ( y cobró bien seguramente ) y que reproducimos completo, porque no tiene desperdicio:
"Me tiene cansado, harto, la tendencia argentina a producir un efecto de falsa inteligencia a través de la crítica. El ejercicio uno de la mente nacional, su función elemental, su abc, su leche de pecho, sus palotes elementales, es el arte de la objeción, la formulación de una crítica o una sospecha, el señalamiento del punto en el que alguna cosa no anda o no va a andar. Sí, es la "mentalidad taxista" (suena como marxista, se le parece, pero es otra forma de impotencia, de estilo nacional).
"Me refiero al canalla normal, que prefiere descreer y siente que así es piola. Al que hace mohines de reparo y descreimiento, al escéptico natural, al que cultiva su fe en el fracaso como si fuera algo profundo. No, claro, no somos todos así. Sí, hay mucho argentino y argentina inteligente de modo más verdadero, capaz de lidiar con complejidades sin tirar al chico con el agua sucia, pudiendo ejercer el arte del hacer, del buscarle la vuelta, del querer vivir aunque el mundo no sea fácil. Hay muchas personas que viven su vida dando sus batallas, sin dejarse llevar por este vicio compulsivo de la crítica. No se engañan, saben quién trabaja y quién miente, quién sólo critica y quién aporta. Quién tiende a mentir y a tapar sus mentiras con enojos (sí, hablo de los Kirchner y de sus manipulaciones constantes, de la información, la economía y la justicia), y quién tiende a generar condiciones de crecimiento reales.
"El crítico cree que, como la realidad no es como él querría que fuera, su capacidad debe expresarse señalando el error presente en las cosas. Mientras más error señale, más inteligente se cree. Si no puede afirmar nada, si logra descreer de todo, de todo absolutamente, anular todas las opciones, ver detrás de cada cosa una trampa, una amenaza, una mala fe escondida, se siente un genio. Y muchos lo festejan como tal. Es una inteligencia que mide su fuerza a partir de su poder destructivo. Para quienes viven en esta costumbre patológica, el inteligente es ese descontento criticón, cuyos aires de superioridad no tienen relación con ningún logro o aporte real, pero que hace creer a los demás que tiene un potencial tremendo. Nunca se verifica ese potencial, aunque tanta capacidad para detectar fallas hace suponer una inteligencia prodigiosa. Gran malentendido.
"Gran malentendido, porque esa posición defensiva y arrogante no produce nunca nada. O sí, produce: desazón, desencuentro, amargura, escepticismo, aislamiento, inhibición, depresión, falta de vitalidad, pérdida de vida, de sentido, desprecio de las posibilidades plásticas de la realidad. Prefiero a los boludos que tratan de hacer cosas y se equivocan (a los inocentes, tan criticados, que se animan a confiar, a crear, a buscar, a entregarse a la vida sin medir todos sus pasos constantemente) que a esos inteligentes sin inteligencia, a esos críticos pretenciosos y carentes de vitalidad.
"Todo ciudadano que se precie tiene opiniones formadas acerca de cómo tendrían que ser las cosas, aunque luego no sea capaz de producir aporte alguno. Vivimos cultivando el arte de la objeción, señalando siempre frente a cada fenómeno el punto en el que este falla o podría fallar, como si eso fuera pensar, como si eso fuera ser inteligente: no lo es. Ese uso del pensamiento dista mucho de ser una aplicación valiosa, es más bien una estrategia de empobrecimiento constante, de negación de la realidad, una forma de querer siempre estar en otro lado y en otro momento, una manera de hurtarse y de no ser. Claro, por esa vía te salvás de equivocarte, pero porque te salvás de algo mucho más importante: de vivir.
"Un claro ejemplo de esta mediocridad crítica es la mayoría de las intervenciones en los foros de Internet, o incluso en los comentarios en los blogs o en los artículos como éste. Hay un cardumen de maledicientes que no tienen otra cosa que hacer con sus vidas que basurear resentidamente todo lo que no huela tan mal como su mundo interno. Seguramente no son capaces de generar ideas, ni textos, ni acciones, ni proyectos, simplemente se desquitan tirando tierrita encima de las posibilidades ajenas.
"La visión de la crítica como suprema inteligencia avala tales costumbres como si fueran un aporte. No lo son. Aporte es sumar, con inteligencia, valor. No es sospechar, es construir; no es seguir diciendo lo que no se quiere, es animarse y poder decir qué cosa sí se quiere y colaborar con el logro de la cosa señalada. No digas más que es lo que no hay que hacer, tratá de decirme qué sí te parece bien. Y no te olvides del cómo, si bien tiene que ser un cómo realista: no te escudes en el sueño utopista, que sirve para escribir poemas malos pero no suma nada en el mundo de la vida real.
"El gobierno nacional cree en esta inteligencia crítica, en esta falsa inteligencia impotente, y recolecta adhesiones en quienes padecen de su misma impotencia creativa. Viven a costa de sus enemigos, sólo se orientan existencialmente peleando contra alguien a quien poder llamar "malo". Sin ese recurso no saben qué hacer, ni quiénes son, ni qué quieren, ni cómo se llaman. Es un mal nacional, tenemos que aprender a ser de otra manera".