PLUTONIO

EE UU deja de pagar a España por el accidente nuclear de Palomares
El Gobierno de Obama acaba con más de 40 años de financiación de análisis de salud y ambientales - Madrid intenta que Washington acepte llevarse el plutonio

RAFAEL MÉNDEZ - Madrid - 23/08/2010



Estados Unidos ha dejado de pagar la factura del accidente de Palomares. Este año, por primera vez en más de 40 años, Washington no ha pagado la vigilancia de la contaminación por plutonio ni los análisis de sangre a los 1.500 habitantes de la pedanía de Almería sobre la que en 1966 cayeron cuatro bombas nucleares. Los 403.000 dólares (unos 314.000 euros) que pagaba anualmente EE UU han sido asumidos por España, que ve cómo la Casa Blanca endurece su postura sobre Palomares justo cuando debía acometerse la limpieza definitiva.

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Todavía quedan 20 hectáreas contaminadas en la zona

Se calcula que el coste de la limpieza definitiva puede ser de 25 millones

El Departamento de Energía (DOE, en sus siglas en inglés) explica en su presupuesto de este año que "el programa de Palomares fue un esfuerzo común de EE UU y España para dar supervisión médica a la población expuesta y el control ambiental de la contaminación por plutonio", pero añade que "la obligación financiera del DOE con este programa concluyó en 2009". "El DOE continuará aportando apoyo técnico cuando sea requerido", añade y certifica que esto supone acabar "con más 41 años de cooperación financiera". Así, EE UU no ha renovado los acuerdos que desde 1966 ha firmado sucesivamente con España.

El pasado mayo, cuando el vicepresidente de EE UU, Joe Biden, visitó Madrid el asunto estuvo en la agenda. Los representantes españoles preguntaron a sus homólogos estadounidenses cómo era posible que desde el 7 de septiembre de 2009 EE UU dejara de abonar el dinero.

El tema quedó para una reunión el pasado 8 de julio en Washington. Allí, representantes del CIEMAT, el centro público español encargado de la gestión de la zona contaminada, se entrevistaron con miembros de los departamentos de Estado, Energía y Defensa estadounidenses, que escucharon la reivindicación española y se comprometieron a estudiarla.

El 17 de enero de 1966 dos aviones militares estadounidenses chocaron en el cielo de Palomares durante un repostaje. Se incendiaron y se estrellaron. Uno ellos soltó cuatro bombas nucleares. Dos quedaron intactas. A las otras dos les falló el paracaídas, liberaron carga y marcaron a la localidad para siempre. El 25 de febrero de ese año, los dos países firmaron el primer acuerdo que regulaba la investigación y que contaba con financiación estadounidense. Se llamó el acuerdo Hall-Otero y desde entonces, cada año grupos de habitantes de Palomares viajan al CIEMAT, en Madrid, a someterse a análisis de sangre. El centro no hace públicos los resultados aunque asegura que no ha detectado ningún problema de salud ni mortalidad anormal. La web del Departamento de Energía ofrece mucha más información y documentación sobre el suceso y sus consecuencias que la del Gobierno español.

Que EE UU ya no pague por Palomares no solo es simbólico, sino que anticipa un problema mayor. Desde 2004, el Gobierno emprendió un plan de limpieza de la zona afectada. Lo comenzó un año después de que el Consejo de Seguridad Nuclear alertara de que el movimiento de tierras para construir viviendas podía levantar plutonio y acarrear problemas de salud al facilitar su ingestión. "La introducción de nuevas actividades agrarias o de construcción podrían modificar sustancialmente la situación radiológica actual debido a que estas implican movimientos significativos de tierras", decía ese informe.

En 2007, los dos Gobiernos firmaron el acuerdo que regulaba los análisis y añadieron un anexo sobre los trabajos de limpieza. El CIEMAT (Centro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas), adscrito al Ministerio de Ciencia, ha elaborado un mapa tridimensional con la contaminación de Palomares. Tras realizar miles de muestreos, no solo detectaron que la contaminación de las bombas llegó a un lugar de la sierra hasta ahora desconocido, sino que hallaron incluso las dos zanjas en las que el Ejército de EE UU enterró los materiales que le quedaban antes de partir. Aunque los soldados estadounidenses se llevaron la mayor parte del material, quedan restos de plutonio y americio en unas 20 hectáreas. En el acuerdo, EE UU anuncia su disposición a pagar otros 750.000 dólares (casi 590.000 euros) en 2008 y 850.000 dólares (670.000 euros) en 2009, y ambas partes mostraban su intención de compartir gastos.

Ahora, una vez conocida cuál es la contaminación, España y EE UU debían acordar la limpieza de la zona para zanjar el incidente. El coste de la operación no está detallado, pero puede rondar los 25 millones de euros, según fuentes próximas a la investigación. Se trata de pasar la tierra contaminada por una especie de tamiz y separar los restos contaminados con plutonio o americio.

Lo esencial no es quién paga la operación, sino si EE UU acepta llevarse el plutonio. En las conversaciones entre técnicos no hubo problemas pero ahora la Administración de Barack Obama aparece "muy hermética", según fuentes próximas a la negociación. España no tiene capacidad para albergar plutonio. No tiene un almacén nuclear y los residuos no pueden ir al de residuos de baja y media actividad de El Cabril, en Córdoba. El plutonio tarda 24.000 años en desintegrarse a la mitad. Además, sería difícilmente explicable que España se quede con un problema en el que no tuvo nada que ver.

El Omegón y todo eso... (Parte 14)

(A la parte 13 – A la parte 15)

Los ordinales, hoy (continuación)

Queremos recuperar en el contexto de la teoría de Morse-Kelley la construcción de los ordinales de Cantor, y además hacerlo de tal modo que se eviten las paradojas. La idea básica es que, mientras Cantor concebía a los ordinales como números que permitían contar "más allá del infinito", la teoría de Morse-Kelley concibe a los ordinales como conjuntos, y la relación "menor que" de Cantor se reemplaza por la relación "pertenece a". Veamos cómo se hace esto:

Como dijimos en la parte anterior, en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley el número 0 se identifica con la clase vacía. Los axiomas de la teoría permiten probar que 0 es, de hecho, un conjunto. Por lo tanto podemos decir que 0 es el conjunto vacío. Además, 0 es el primer ordinal.

El ordinal siguiente al 0 es el 1, que se define como

1 = {0}

Puede probarse que 1 es un conjunto, el conjunto cuyo único elemento es el 0. Por lo tanto 0 pertenece a 1. Observemos también que 0 es un subconjunto de 1.

Los ordinales finitos siguientes 2, 3, 4, 5, 6,... son también todos conjuntos y se definen como:

2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Y así para todos los ordinales finitos. Notemos que 1 pertenece a 2 (y también pertenece a 3, 4, 5,...). También 1 = {0} es un subconjunto de 2, 3, 4, 5,...
El ordinal 2 pertenece y es subconjunto de 3, 4, 5, 6,...
El ordinal 3 pertenece y es subconjunto de 4, 5, 6, 7,...

Y así sucesivamente.
Observemos también que:

El sucesor de 0 es $0\cup \{ 0\} $ = {0} = 1.
El sucesor de 1 es $1\cup \{ 1\} $ = $\{ 0\}\cup \{ 1\}$ = {0, 1} = 2.
El sucesor de 2 es $2\cup \{ 2\} $ = $\{ 0,1\}\cup \{ 2\}$ = {0, 1, 2} = 3.
Etc.

El primer ordinal infinito, $\omega $, se define como la clase (puede probarse que, de hecho, es un conjunto) cuyos elementos son todos los ordinales finitos:

$\omega $ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Su sucesor es $\omega +1$ = $\omega \cup \{ \omega \} $ = {0, 1, 2, 3, 4,..., $\omega $}, donde los puntos suspensivos abarcan todos los números naturales desde 5 en adelante. Todos los ordinales finitos son elementos y subconjuntos de $\omega $, que a su vez es elemento y subconjunto de $\omega +1$.

Recordemos que una de las reglas de construcción de ordinales establecida por Cantor nos decía que a continuación de una secuencia creciente de ordinales consecutivos se "hacía aparecer" un nuevo ordinal. En la teoría de conjuntos ese nuevo ordinal es la clase cuyos elementos son todos los ordinales anteriores.

Pero ¿cómo se define el concepto de ordinal? Para comenzar definimos la noción de clase completa.

Definición: una clase x es completa si todo elemento de x es también un subconjunto de x.

Para entender esta definición debemos recordar primero que en esta teoría todos los objetos considerados son clases y que no existe la distinción habitual entre elementos individuales y clases (o conjuntos).

En segundo lugar observemos que si x = {1}, entonces 1 es elemento de x, pero 1 no es subconjunto de x, porque 1 = {0} y 0 no es elemento de x. Por lo tanto {1} no es completo. Todos los ordinales mostrados más arriba, en cambio, sí son completos.

Definición: una ordinal es una clase completa que está bien ordenada por la relación de pertenencia.

Es decir, si x es un ordinal y consideramos la relación de pertenencia, definida entre los elementos de x, entonces x resulta ser bien ordenado por esa relación. Veamos cómo esta definición nos permite ir obteniendo, uno tras otro, los sucesivos ordinales 0, 1, 2, 3,...:

Supongamos que x es un ordinal. Si x es 0 entonces está al comienzo de la secuencia. Veamos que si no es 0 entonces es mayor o igual que 1 (es decir, o es igual a 1 o el 1 es elemento de x, recordemos que aquí "menor" equivale a "pertenece").

Supongamos que x es no vacío, como es bien ordenado por la relación de pertenencia entonces tiene un mínimo. Sea y esa mínimo. Como x es completo e y es un elemento de x entonces y es un subconjunto de x.

Supongamos que y fuera no vacío, existiría en consecuencia algún z tal que z pertenece a y.

Entonces: z pertenece a x (porque pertenece a y, que es subconjunto de x), pero también pertenece a y, es decir "es menor que y", pero y el mínimo de x (no puede haber elementos menores que él). Esto es un absurdo, luego z no puede existir. Es decir, y = 0.

En resumen, si x es un ordinal no vacío entonces 0 pertenece a x. En otras palabras, x es mayor que 0 y {0} = 1 es un subconjunto de x.

Ahora bien, x podría ser el 1, o no. Si x es 1, entonces sigue al 0 en la secuencia de ordinales.

Si x no es 1 tomamos el mínimo de x - {0} y un razonamiento similar al anterior nos permitirá probar que, en ese caso, si x es mayor o igual que 2. Ahora bien, si x no es 2, un razonamiento similar nos permitirá probar que es mayor o igual que 3. Etc.

En la próxima parte veremos cómo esta definición conjuntista de los ordinales nos permite evitar la paradoja de Burali-Forti.

El Omegón y todo eso... (Parte 13)

(A la parte 12 – A la parte 14)

Los ordinales, hoy

Como decíamos ayer, la teoría de conjuntos (en particular, la teoría de los ordinales), tal como fue planteada por Georg Cantor , resultó ser inconsistente (1). Esto quedó demostrado por la existencia de la paradoja del mayor ordinal posible (la mal llamada Paradoja de Burali-Forti, discutida en el capítulo anterior) y también por la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.

Cantor intentó solucionar estos problemas mediante un argumento filosófico-teológico según el cual existen dos niveles de infinitud: el nivel transfinito y el nivel de la infinitud absoluta. El primero, según Cantor, es el único accesible a la mente humana. Cantor aseguraba que toda su teoría de ordinales y cardinales se enmarcaba en este nivel.

Por el contrario, decía Cantor, la comprensión del nivel absoluto estaba sólo reservada a Dios y era inaccesible al ser humano. En este nivel se encontraban conceptos tales como "el conjunto de todos los conjuntos" y "el mayor de todos los ordinales". Las paradojas que se derivan de estos conceptos, siempre según Cantor, sólo son aparentes y resultan ser el fruto de nuestras propias limitaciones (2).

Esta "explicación", además, calmaba los escrúpulos religiosos de Cantor. Como ya dijimos antes, hasta el siglo XIX muchos teólogos consideraban que el infinito era un concepto esencialmente divino y que pretender comprenderlo constituía una herejía. Cantor, quien era profundamente religioso, estuvo durante mucho tiempo muy incómodo con la idea de ser un hereje. La concepción de que, después de todo, habría un parte del infinito inaccesible a la mente humana lo reconciliaba de alguna manera consigo mismo.

La verdad es que esta explicación filosófico-teológica no convenció a ningún matemático, ni siquiera a los dos más grandes defensores de Cantor, David Hilbert y Richard Dedekind, y es así como los problemas de la teoría de Cantor quedaron sin resolver durante varios años (en la década de 1920 David Hilbert todavía planteaba la comprensión del infinito como uno de los mayores desafíos para el honor de espíritu humano).

En los primeros años del siglo XX Bertrand Russell intentó una solución mediante una reformulación de las reglas del lenguaje lógico-matemático que, de ser aplicadas, se suponía, eliminarían todas las paradojas conocidas hasta ese momento. Lamentablemente, por razones demasiado extensas para explicarlas aquí, la idea de Russell falló.

La solución (al menos la solución hasta ahora aceptada) provino del enfoque axiomático y consistió específicamente en el planteo de una teoría axiomática de conjuntos. En realidad, decir "una" teoría de conjuntos es inexacto. Aunque la teoría más "popular" entre los matemáticos es la llamada teoría de Zermelo-Fraenkel, se han propuesto muchas teorías de conjuntos, no todas equivalentes entre sí.

Mi intención es desarrollar a continuación algunos de los puntos principales de la llamada teoría de conjuntos de Morse-Kelley, haciendo especial hincapié en la definición de los ordinales y en cómo se eliminan las paradojas que aparecen en la teoría de Cantor. (Al hablar de los ordinales, me basaré en la exposición que se hace en el apéndice del libro de John L. Kelley, Topología General, Eudeba, Buenos Aires, 1975.) Aunque hablaré de la teoría de Morse-Kelley, casi todo lo que diré (tal vez todo) es común a casi todas (tal vez a todas) las teorías de conjuntos existentes actualmente.

Para comenzar, digamos que todas las teorías de conjuntos actuales eliminan las paradojas (por ejemplo la de Russell o la de Burali-Forti) mediante un truco de lenguaje que (curiosamente, o no) tiene reminiscencias de la explicación filosófico-teológica de Cantor. El truco consiste esencialmente en hacer una distinción entre clases y conjuntos.

A toda propiedad (entendamos la palabra "propiedad" en su sentido intuitivo) le corresponde una clase: la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Ahora bien, antes de continuar es importante decir que en casi todas las teorías de conjuntos actuales todos los objetos de la teoría son clases. Es decir, la distinción "tradicional" entre clases y elementos no existe. Insisto, todas son clases, sólo que algunas clases son elementos de otras clases más grandes.

Por ejemplo, en la teoría de Morse-Kelley el número 0 se define como la clase vacía (que es la clase definida por la propiedad "$x\neq x$"). Observemos que 0 no se define como el cardinal de la clase vacía (como habría hecho Cantor), sino que es esa clase. 0 es un nombre para la clase vacía.

¿Qué es un conjunto? Un conjunto es un caso particular de clase. Una clase es un conjunto si pertenece a una clase más grande. Tenemos entonces que las clases se dividen en dos tipos, por una lado están los conjuntos, que son clases que son miembros (o elementos) de clases más grandes y por otro lado están las clases propias, que no son miembros de clases más grandes. (Cantor, probablemente, hubiera identificado a las primeras con "lo transfinito" y a las segundas con "lo absoluto".) Por ejemplo, la clase universal (la clase que contiene a todo, definida por la propiedad "$x = x$") es una clase propia.

Dijimos antes que a cada propiedad P le corresponde una clase C. La definición dice que:

"$x \in C$ $\Leftrightarrow $ (x cumple P y x es un conjunto)"

¿Cómo sirve esta distinción para evitar, por ejemplo, la paradoja de Russell? En la teoría intuitiva de conjuntos (nombre que actualmente se la da a la teoría de conjuntos de Cantor) a cada propiedad simplemente le corresponde un conjunto. Si a la propiedad P le correspondiera el conjunto C diríamos que:

"$x \in C$ $\Leftrightarrow $ x cumple P"

Tomemos, como hizo Russell, la propiedad "$x\not\in x$" y llamemos R al conjunto que le corresponde. Luego: $x\in R \Leftrightarrow x\not\in x$ .

La teoría intuitiva nos dice que la afirmación anterior es verdadera cualquiera sea el valor que le asignemos a x. Tomemos, por ejemplo, x = R. Tenemos así que la teoría nos dice que es verdad que: $R\in R\Leftrightarrow R\not\in R$ . Pero la lógica elemental nos dice que esta afirmación es ipso facto falsa. La teoría intuitiva de conjuntos nos conduce entonces a una falsedad y es, por lo tanto, contradictoria.

Ahora bien ¿qué diría ante esta situación una teoría moderna de conjuntos? ¿Cómo elude la paradoja? Tomemos la misma propiedad de antes, "$x\not\in x$" y sea R la clase que le corresponde. La definición que da una teoría de conjuntos actual nos dice que, cualquiera sea x, vale que:

"$x\in R$ $\Leftrightarrow $ si ($x\not\in x$ y (x es un conjunto))"

Como antes, tomemos $x = R$. Es verdad entonces que: "$R\in R$ $\Leftrightarrow $ (($R\not\in R$) y (R es un conjunto))"

Y ya no hay paradoja porque esta afirmación no es contradictoria en sí misma. Más aún, del hecho de que esta afirmación es verdad se deduce que R no pertenece a sí misma y que R no es un conjunto. Es decir, R es una clase propia.

Vemos así como las modernas teorías de conjuntos evitan (mediante un truco de lenguaje) la paradoja de Russell. Veremos en la próxima cómo definen los ordinales y cómo evitan (de manera similar) la paradoja de Burali-Forti.

Notas:

(1) En su libro Comprendiendo el Infinito (Fondo de Cultura Económica, México DF, 2005), Shaughan Levine sostiene la tesis de que la teoría de Cantor era consistente y que las contradicciones que se achacan aparecen solamente si se aplica la teoría a situaciones que Cantor no contemplaba (es decir, la teoría es consistente si nos limitamos a lo que Cantor llamaba "lo transfinito"). Sin embargo, creo que Levine se equivoca. La teoría de Cantor es inconsistente. Por supuesto, si ante cada incosistencia nos limitamos a decir "ese caso no lo tomo en cuenta" entonces cualquier teoría (aun la más absurda) puede ser defendida como consistente.

(2) En 1904 Cantor le escribió una carta a Bertrand Russell usando este argumento como intento de refutación de su paradoja del conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. No sabemos si Russell le respondió. (La carta de Cantor está reproducida en el libro citado en la nota anterior.)

Revista Axioma

En este enlace están ya disponibles los números 0 al 6 de Axioma, revista para profesores y estudiantes de matemática. Próximamente estarán también disponibles los números del 7 al 19, que completan la colección de números publicados.

Mala lógica futbolística

(Del diario Clarín de Buenos Aires, miércoles 21 de julio de 2010.)


Si Boca gana todos los partidos, más que candidato será campeón...


La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 7 y último)

(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)

La duplicación de la esfera

Todas las piezas de la demostración del Teorema de Banach-Tarski ya han sido mostradas. Sólo falta ensamblarlas convenientemente para comprender la idea (sólo hablaré de la idea, no de los detalles técnicos).

Como decíamos ayer, es posible cortar un cuadrado en partes que, reorganizadas convenientemente, nos permitan armar dos cuadrados iguales al original. La partición que hemos hecho requiere una cantidad infinita de partes (cada parte es, en realidad, un solo punto).

Como también dijimos, el que un conjunto de puntos constituya una parte no depende tanto de los puntos en sí como de los movimientos que les apliquemos al rearmar la nueva figura. Una parte es un conjunto de puntos a los cuales les aplicamos simultáneamente los mismos movimientos. Así pensada, como también vimos, una parte puede ser disconexa. De hecho, una parte puede consistir simplemente en una "nube de puntos".

Si en la duplicación del cuadrado hubiera, pongamos por caso, 100.000 puntos a los cuales se les aplicaran simultáneamente los mismos movimientos, esos 100.000 puntos formarían una parte. Inclusive, tal vez, aplicando el suficiente ingenio, podríamos lograr reunir a los puntos en una cantidad finita de partes, cada una de ellas con la forma de una nube de puntos.

En el caso del cuadrado este último objetivo (el de reunir los puntos en una cantidad finita de partes) es irrealizable, pero sí es alcanzable en el caso de la esfera.

Así como hay tantos puntos en un cuadrado como en dos cuadrados iguales a él, de la misma forma hay tantos puntos en una esfera como en dos esferas iguales a ella. Esto ya lo sabía Cantor en 1880 y Cantor podría haber duplicado la esfera de la misma forma que antes nosotros duplicamos el cuadrado o el cubo (tomado cada parte como un punto). El ingenio de Banach y Tarski en su demostración de 1920 es haber logrado reunir a los puntos de la esfera en una cantidad finita de grupos (a cada uno de los cuales se les aplica "en bloque" exzactamente los mismos movimientos). Estas partes, entonces. no deben pensarse como los bloques de un puzzle, sino más bien como nubes formadas por puntos que se mueven al unísono.

¿Por qué no puede realizarse la partición con una esfera verdadera (digamos, una esfera de oro)? La respuesta ya fue comentada y puede resumirse así: una esfera de oro no es una esfera matemática. En la partición de una esfera matemática (que a la que se refiere el teorema del que estamos hablando) interviene cada uno de los puntos de su interior (que son infinitos y no numerables). Una esfera de oro, en cambio, está formada por una cantidad finita de átomos y su interior es principalmente espacio vacío.

Para finalizar, les dejo un problema que (hasta donde conozco) fue planteado por primera vez por Iván Skvarca hace ya algunos años. El problema dice así: ¿es posible cortar un triángulo equilátero en cinco partes iguales? Donde, que dos partes sean "iguales" quiere decir que es posible mover una de ellas hasta superponerla exactamente con la otra. Como vimos en el capítulo 1, un problema de este tipo puede pensarse física o matemáticamente. Les dejo, para pensar, ambos aspectos del problema.

Gracias por la amable atención. Un saludo para todos...

Solidaridad con la Ley de Arizona

Países se solidarizan contra ley de Arizona Ginebra


Once países firmaron ayer en Ginebra, Suiza, a instancias de México, una declaración en la que muestran su preocupación y condena por la ley de Arizona, la cual consideran que tiene un “espíritu racista, xenófobo y contrario a la inmigración de cualquier tipo”.

Los países signatarios fueron, además de México, Uruguay, Panamá, Ecuador, Bolivia, Guatemala, Cuba, Turquía, Senegal, Micronesia y Chile.

“Queremos agradecer a los países signatarios su colaboración en la lucha por la derogación de esta ley xenófoba y racista”, manifestó ayer en Ginebra el vicepresidente del Parlamento de México, Felipe Solís Acero, al final de la Asamblea de Presidentes de Parlamentos, que tuvo lugar en esa ciudad helvética los últimos tres días.

Además de lamentar el “espíritu en contra de la inmigración en general y de la irregular en particular”, la declaración reconoce los “esfuerzos” del presidente de EE. UU., Barack Obama, por “su compromiso personal en impulsar una reforma migratoria integral”.

La Ley SB 1070, aprobada en abril último por Arizona y que entrará en vigor el 29 de julio, permite a las fuerzas de seguridad estatales detener a cualquier sospechoso de no tener regularizado su estatus migratorio.

A iniciativa de México, 11 delegaciones —entre las más de cien presentes en Ginebra— y el presidente de la Asamblea Parlamentaria de Europa, el turco Mevlüt Çavusoglu, firmaron el documento, que insta a la comunidad internacional “a alzar su voz contra la ley de Arizona y cualquier otra medida discriminatoria”.