El Omegón y todo eso... (Parte 18)

A la parte 17 - A la parte 19

Adenda sobre los puntos de acumulación

En esta entrada quiero ampliar la explicación del papel que jugó, en el desarrollo de la teoría de los ordinales, el concepto de "punto de acumulación". Fue mencionado en capítulos anteriores, pero ahora voy a profundizar en conceptos antes mencionados un poco al pasar.

Decíamos algunos capítulos atrás que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle. Allí Eduard Heine, su director, le planteó el siguiente problema: tenemos una función periódica f(x) que hemos desarrollado en serie de Fourier, si en cada período la cantidad de puntos singulares de f(x) (es decir, los puntos de discontinuidad de f(x) o puntos donde la serie es divergente) es infinita ¿podemos asegurar entonces que esa escritura en serie de Fourier de f(x) es la única posible (o, por el contrario, podrá haber otra serie diferente que converja a la misma función)?

Recordemos que Heine ya había resuelto afirmativamente la cuestión para una cantidad finita de punto singulares, Cantor se enfrentaba ahora al "caso infinito".

Dijimos también que, pocos meses después de planteado el problema, Cantor tenía ya una primera respuesta: puede asegurarse que la escritura es única siempre y cuando los puntos singulares estén distribuidos en la recta de una manera determinada. Pero Cantor, en primera instancia, no supo encontrar una manera clara y directa de describir cuáles eran las condiciones que debía cumplir esa distribución. Después de un tiempo logró obtener esa descripción clara y simple, y para ello creó el concepto de "punto de acumulación".

¿Qué es un punto de acumulación? Voy a dar la definición que dio Cantor, que él refería específicamente al caso de los números reales (posteriormente el concepto se llevó a contextos mucho más generales). Necesitamos previamente recordar qué significa que una sucesión de números converge a un límite L.

Una sucesión a(1), a(2), a(3),... converge a L si, fijada cualquier distancia épsilon, existe un número natural n (que depende de épsilon) tal que si m > n entonces la distancia entre a(m) y L se hace menor que épsilon. Traducido a un castellano más impreciso pero tal vez menos árido: a(1), a(2), a(3),... converge a L si, tomando n suficientemente grande, todos términos de la sucesión a partir de a(n) se acercan a L tanto como se quiera.

El ejemplo clásico es la sucesión a(n) = 1/n, cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4,... y que converge a 0.

Definición: Si P es un subconjunto de los números reales, decimos que b es punto de acumulación de P si existe una sucesión a(n) no constante y formada totalmente por elementos de P, tal que a(n) converge a b.

Por ejemplo, si P = (0,1), entonces 0 es punto de acumulación de P. Por ejemplo, una sucesión formada por elementos de P y que converge a 0 es a(n) = 1/(n + 1) (siempre tomaremos n = 1, 2, 3, 4,...). En realidad, es fácil ver que el conjunto de todos los puntos de acumulación de P es [0,1].

Ejercicio para el lector: Demuestre, a partir de la definición dada más arriba, que si P es finito entonces no tiene puntos de acumulación.

Definición: Llamaremos P', el derivado de P, al conjunto de todos los puntos de acumulación de P.

Por lo tanto, para P = (0,1), tenemos P' = [0,1].

Pasemos a otro ejemplo. Tomemos ahora P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}. Es decir, P está formado por el 0 y por todos los números de la forma 1/n con n = 1, 2, 3, 4,... Es evidente que 0 es punto de acumulación de P. ¿Qué pasa con los demás números?

Veamos, el 1 no es punto de acumulación de P. Si lo fuera, debería haber otros elementos de P tan cercanos al 1 como se desee (esos elementos serían los términos de la sucesión a(n) de los que habla la definición). Pero esto no sucede, ya que no hay otros puntos de P a manos de 1/2 de distancia del 1. Es decir, en todo el intervalo (1 - 1/2, 1 + 1/2) no hay elementos de P diferentes del 1 mismo. Por lo tanto, el 1 es un punto aislado de P y no es punto de acumulación.

Lo mismo sucede con el 1/2, ya que no hay puntos de P a distancia menor que 1/6 de él. Y también sucede con el 1/3, el 1/4, etc. Todos los puntos de la forma 1/n son puntos aislados de P. Por otra parte, es fácil ver que los puntos que no pertenecen a P tampoco son puntos de acumulación. Por lo tanto, para P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} vale que P' = {0}.

Por supuesto, podemos también definir el derivado del derivado e P que es (P')' = P". Y el derivado de éste: (P")' = P''', etc. A los que llamaremos derivado segundo, derivado tercero, etc.

Observemos que si P = (0,1) entonces P' = [0,1], P" = [0,1], P''' = [0,1], etc.

Por otra parte, si P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}, entonces P' = {0} y P" es el conjunto vacío (el derivado de {0}, como para todo conjunto finito, es el vacío). Tenemos así que el derivado segundo de P es el conjunto vacío.

¿Será posible hallar un conjunto P tal que su derivado tercero sea el vacío (pero ninguno de los anteriores)? La respuesta es afirmativa, pero la estudiaremos en el próximo capítulo...

Viaje al planeta Biplantar

Cierta vez Spock, el viajero espacial estudioso de la Lógica, llegó al planeta Biplantar. En este planeta, como en tantos otros visitados por Spock, la población entera está dividida en dos grupos: el de los veraces y el de los mentirosos. Los veraces sólo hace afirmaciones rigurosamente verdaderas mientras que los mentirosos sólo hacen afirmaciones falsas.

En este planeta, además, todas las casas tienen dos plantas, a las que, en un alarde de imaginación, llamaremos inferior y superior. En una de las plantas (puede ser la inferior o puede ser la superior, eso depende de cada casa) viven solamente veraces, en la otra planta, obviamente, viven solamente mentirosos. Esto no quiere decir que cada uno de ellos esté confinado a una planta específica, cual si de prisioneros se tratara. Por el contrario, quienes viven en una planta pueden visitar libremente la otra, pero "viven" (moran, pernoctan, residen) sólo en una las dos.

En los pueblos o en las ciudades pequeñas las casas son de estructura sencilla y cualquier visitante sabe en todo momento en qué planta de la casa se encuentra. En las grandes ciudades, en cambio, las casas pueden tener una estructura muy compleja, laberíntica diríamos, con escaleras falsas que parecen conducir a plantas inexistentes, ventanas con falsos paisajes (creados por jardines elevados artificialmente o por juegos de espejos), puertas falsas y otras trampas para la percepción de tal modo que, después de un tiempo de transitar por sus habitaciones, el visitante puede perder la noción de si se encuentra en la planta inferior o en la superior (aunque el residente nunca se extravía y siempre sabe perfectamente dónde se encuentra).

En su primer día en el planeta Biplantar, Spock se encontraba en una casa en un pueblo pequeño. Había llegado hacía una o dos horas, pero todavía no tenía idea de quiénes vivían en cada planta. En ese momento vio a un residente (que vivía en esa casa, aunque no necesariamente en la planta donde ambos se encontraban) y después de saludarlo, Spock le preguntó a qué grupo pertenecía (es decir, si era veraz o mentiroso). El nativo respondió:

Si yo dijera: "Si hay una planta sobre nosotros entonces yo vivo en ella", entonces usted podría deducir a qué grupo pertenezco.

De esta información Spock dedujo enseguida en qué planta vivían los veraces y en qué planta, los mentirosos. Tal vez dedujo otras cosas, tal vez no. (Pero nótese que el hecho de que Spock tenga la información suficiente como para hacer una determinada deducción no significa necesariamente que la tengamos también nosotros.)

Las preguntas son: ¿El nativo que habló con Spock era veraz o mentiroso? ¿En qué planta de la casa estaban los dos, la inferior o la superior? ¿En cuál de las dos plantas vivían los veraces?

Para cada pregunta el desafío es, o bien responderla, o bien demostrar que la información que se tiene es insuficiente para dar una respuesta certera.

Que se diviertan...
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Un teorema sobre 0^0

Teorema: Sea T una teoría que hable de los enteros no negativos y sus operaciones, si en esa teoría se define 0^0 como 1 entonces no se produce contradicción alguna.

Demostración: Si definimos a los números enteros no negativos en el contexto de la teoría F de los conjuntos finitos (los definimos como los cardinales de esos mismos conjuntos) entonces la afirmación 0^0 = 1 puede demostrarse como teorema (véase aquí). Por lo tanto, la afirmación es consistente con la teoría F, es decir, F U {0^0 = 1} es consistente.

Por ende, T U {0^0 = 1} es consistente también (cualquiera sea T consistente y que defina a los enteros no negativos), porque, de no ser así, la misma contradicción que surgiera en T U {0^0 = 1} existiría también en F U {0^0 = 1}, pero esa supuesta contradicción, ya vimos, en realidad no existe.

...todo lo demás es prejuicio irracional.

APRENDIZAJE CÍVICO.

LOS PAPELES DEL DEPARTAMENTO DE ESTADO
SOLEDAD GALLEGO-DÍAZ LOS PAPELES DEL DEPARTAMENTO DE ESTADO -
Wikileaks, una nueva era de la información

APRENDIZAJE CÍVICO




Si de algo podemos dar testimonio los periodistas es de cómo a lo largo de los últimos años la información, las noticias, nuestro trabajo, se ha ido haciendo cada día más difícil debido a la opacidad, la falta de transparencia, el gusto por el secretismo y la creciente capacidad de manipulación de los datos exhibida por organismos oficiales y entidades privadas. En algunos países se ha intentado poner freno a ese tsunami a través de leyes que obligaran a los organismos oficiales a difundir parte de la información de que dispone o que manejan, las llamadas Freedom Information Acts (inexistente todavía en España). Aun así, millones de documentos han quedado fuera de esas leyes al aplicárseles, muchas veces de manera rutinaria y poco razonada, la categoría de "clasificados" o de "secretos".

* Secretos, planes y obsesiones de EE UU



Los Papeles del Pentágono sobre Vietnam ayudaron a salvar vidas inocentes

La publicación de estas informaciones y la transparencia mejora la salud de las democracias

La aparición de Wikileaks ha venido a cambiar radicalmente ese panorama. Creada en 2006 y presidida por el australiano Julian Assange, tiene por objetivo proporcionar a los ciudadanos noticias e informaciones importantes que consigue gracias a filtraciones a las que, mediante un imponente esfuerzo tecnológico, ofrece total anonimato. Personas que tienen acceso a informaciones que consideran de relevante interés público pueden ahora depositarlas en una "caja electrónica" que garantiza una total protección de la fuente.

Pero Wikileaks no se limita a recoger esa información y lanzarla después a la web, sino que la somete a un serio escrutinio para verificar su autenticidad y, posteriormente, a la investigación de periodistas que trabajan de acuerdo con principios profesionales y éticos y que se encargan de su comprobación y análisis, facilitando la comprensión y el contexto de todo ese material inicial. Los responsables de Wikileaks y los periodistas que acceden a esas informaciones están comprometidos profesional y voluntariamente a eliminar o posponer detalles que puedan poner en peligro la vida de personas o la integridad de las fuentes.

La primera gran filtración de Wikileaks fue el video que demostró como soldados norteamericanos mataron a un fotógrafo de Reuters, a su ayudante y a nueve personas más, sin que en ningún momento ninguno de ellos hubiera hecho el menor gesto que pudiera ser interpretado como una amenaza por la tripulación el helicóptero agresor. La agencia Reuters había pedido reiteradamente ese video, sin que las autoridades competentes hubieran aceptado la obligación de proporcionarlo.

Poco después, el 25 de junio de este año, los diarios The New York Times y The Guardian y el semanario Der Spiegel difundieron un conjunto de informaciones relacionadas con 92.000 documentos sobre la guerra de Afganistán facilitados por Wikileaks y el 22 de octubre se hicieron públicos casi 400.000 documentos del Departamento de Defensa de Estados Unidos relacionados con la guerra de Irak, entre el 1 de enero de 2004 y el 31 de diciembre de 2009. Por primera vez, se constató que las autoridades norteamericanas conocían el uso sistemático de la tortura, que las víctimas en Irak se cifraban oficialmente en 109.032 muertos y que el 63% eran civiles.

La principal acusación que se formula siempre contra periodistas y medios que publican documentos clasificados como secretos por los Gobiernos de países democráticos es que se pone en peligro la vida de personas, o la propia seguridad del Estado. Fue la misma acusación que se formuló contra The New York Times o The Washington Post cuando publicaron, en 1973, los famosos Papeles del Pentágono, el exhaustivo análisis encargado por el propio Secretario de Defensa Robert McNamara sobre la implicación de Estados Unidos en el conflicto de Indochina.

En aquella ocasión, el Tribunal Supremo norteamericano emitió una sentencia histórica, apoyando el derecho de publicación y afirmando que era la Administración la que debía demostrar en cada caso y en cada artículo que existía realmente ese riesgo.

"Todo sistema de censura previa del que conozca este Tribunal tiene una fuerte presunción de estar viciado de inconstitucionalidad", afirmaba el Supremo.
Ninguna de aquellas informaciones publicadas por el New York Times o por el Washington Post puso nunca en peligro la vida de personas, ni la seguridad nacional de un Estado democrático. En aquel caso, como en los suscitados ahora por las filtraciones de Wikileaks, ocurrió exactamente lo contrario. La información ayudó a salvar vidas inocentes y a mejorar la salud de las democracias fortaleciendo su transparencia y su responsabilidad .

"La publicación (de estas informaciones) mejora la transparencia, y esa transparencia crea una mejor sociedad para todo el mundo.
Una mejor vigilancia permite reducir la corrupción y hacer más fuertes a todas las instituciones de la sociedad, incluidos los Gobiernos, corporaciones y todo tipo de organizaciones. Unos medios periodísticos vibrantes, sanos e inquisitivos juegan un papel vital en alcanzar esos objetivos. Somos parte de esos media", asegura la carta de presentación de Wikileaks. Quienes participamos ahora de esta historia compartimos la creencia de que los medios de información responsables deben intentar no solo responder a las preguntas que se hacen los ciudadanos sino, sobre todo, ayudarles a formular las preguntas correctas, esenciales precisamente para su comportamiento cívico.

La primera de esas preguntas es siempre "¿Quién decide por mí? ¿Cómo ha llegado a esta decisión? ¿Qué datos maneja y qué objetivos persigue en mi nombre?". La nueva filtración de Wikileaks supone un gran avance en ese aprendizaje.

Scientology´s - Ron Hubbard

Wikileaks have obtained a full copy of L. Ron Hubbard's Church of Scientology's 'Operating Thetan,' which is often referred to as the "collected secret "bibles" of Scientology."

The content, which Scientology has legally requested to be removed from the site, represents OT (Operating Thetan) "levels" I to VIII and "NOTs" with a portion of the material written in Hubbard's own distinctive handwriting.

Although various elements of the OT has previously appeared, most notably in the so-called "Fishman Affidavit," the cult has been aggressive and hitherto largely successful in preventing public dissemination.

What will be the effect of the full document been leaked?

filtraciones

Los papeles del Departamento de Estado
Wikileaks
De la corrupción en África a los secretos de las embajadas
La web Wikileaks, creada en 2006, ha difundido en los últimos años documentos e informes secretos sobre sectas, entidades bancarias, tramas de corrupción al más alto nivel y las prácticas más oscuras de las tropas internacionales en Irak y Afganistán





Éstas son las principales filtraciones realizadas por la web del australiano Julian Assange desde su creación en 2006:

* De la alarma al ninguneo



Diciembre de 2006 / Somalia

La primera filtración que realizó Wikileaks nunca ha podido ser confirmada. Se trataba de la supuesta implicación del jefe del Consejo Supremo Somalí de los Tribunales Islámicos, Hassan Dahir Aweys, en el asesinato de varios miembros del Gobierno de su país.

Agosto de 2007 / Kenia

La corrupción de la familia del ex líder keniano Daniel Arap Moi fue la segunda gran revelación de la web de filtraciones. En un informe secreto de 110 páginas publicado por el diario británico The Guardian se destapaba una red de empresas ficticias en 30 países para canalizar cientos de millones de euros desviados de las arcas públicas de la nación africana.

Noviembre de 2007 / Guantánamo

Wikileaks y The Guardian revelan el contenido del manual de procedimientos operativos del llamado Campo Delta de la prisión estadounidense en suelo cubano. El documento detalla las condiciones de vida de los internos. A algunos de ellos se les etiqueta como "fuera del alcance" del Comité Internacional de la Cruz Roja, la organización que intenta velar por sus derechos fundamentales.

Febrero de 2008 / Banco suizo y paraíso fiscal

El banco suizo Julius Baer demandó a Wikileaks acusando a la organización de albergar información sobre supuestas actividades ilegales del banco en su filial de las Islas Caimán. Un juzgado de California sentenció que la información debía ser retirada de Internet y ordenó el cierre de la web. Aunque se cumplió la sentencia, una argucia técnica permitió que los datos siguieran accesibles. Este caso desató la primera ola de apoyo a Wikileaks entre organizaciones de Derechos Humanos y para la Libertad de Prensa, que apelaron el fallo del tribunal. Finalmente el juez revisó la sentencia y el sitio volvió a funcionar.

Abril de 2008 / Cienciología

Wikileaks publica los nombres de algunos de los líderes religiosos de la llamada Iglesia de la Cienciología.

Septiembre de 2008 / Los correos electrónicos de Sarah Palin

La web difunde el contenido de una cuenta de correo electrónico de Sarah Palin, en aquella época número 2 de la candidatura republicana en las elecciones presidenciales estadounidenses.

Noviembre de 2008 / Afiliados de un partido ultra de Reino Unido

Wikileaks da a conocer los nombres de unos 13.500 miembros del British National Party, una formación política británica de extrema derecha. Entre los militantes se cuentan, entre otros, clérigos, oficiales de policía y maestros de escuela.

Enero de 2009/ Escándalos de la ONU

Se filtran unos 600 informes secretos de Naciones Unidas, en los que se detallan los supuestos abusos sexuales cometidos por cascos azules europeos a jóvenes refugiadas. En ese mismo mes también se filtran conversaciones telefónicas de políticos y hombres de negocios peruanos en las que se pone de manifiesto el amaño de concursos para la adjudicación de contratos a empresas extranjeras en el sector petrolero.

Octubre de 2009 / Nueva filtración del BNP

Se publica la lista de afiliados, con fecha de abril de 2009, al partido de extrema derecha británico BNP. El listado contiene casi 12.000 nombres.

Marzo de 2009 / La censura en Internet

Wikileaks difunde las supuestas webs prohibidas bajo las leyes de Australia, Tailandia y otros países.

Mayo de 2009 / Las reuniones del grupo de Bilderberg

La web publica informes de varias reuniones del llamado Club de Bilderberg, una organización informal de personalidades del mundo de los negocios, la política y la comunicación que se reúne periódicamente para realizar sesiones de debate.

Julio de 2009 / Incidente nuclear en Irán

Wikileaks filtra un informe que detalla un "grave accidente nuclear" en el complejo nuclear iraní de Natanz. Días después presentaba su dimisión el director del organismo de energía atómica iraní. Un departamento estadounidense informaba de que el número de centrifugadoras para enriquecer uranio había caído de 4.700 a 3.900 unidades.

Agosto de 2009 / Puntilla bancaria a Islandia

Después de que una orden judicial prohibiera a la televisión pública islandesa la publicación de una lista de los acreedores del mayor banco del país, el Kaupthing (que tras quebrar había sido nacionalizado en 2008), Wikileaks publicó el nombre de otros bancos y accionistas a los que el Kaupthing debía miles de millones de euros.

Septiembre de 2009 / Vertidos tóxicos en África

Wikileaks filtra un informe (el llamado Informe Minton) del gigante de los productos financieros Trafigura sobre un vertido tóxico en 2006 en Costa de Marfil, que afectó a más de 100.000 personas. El diario británico The Guardian, que también había tratado de publicar esa información, fue demandado por Trafigura.

Octubre de 2009 / Contra las filtraciones en Reino Unido

La web hace público un informe del Ministerio de Defensa británico fechado en 2001 en el que se especificaba cómo evitar filtraciones de información a periodistas, hackers y espías.

Noviembre de 2009 / El 'climategate'

Se filtra la supuesta correspondencia entre científicos que investigaban el cambio climático en la Universidad de East Anglia (Reino Unido). Según algunos negacionistas del cambio climático, esos correos mostraban que los científicos habían manipulado datos para exagerar el calentamiento global. Posteriormente quedó demostrado que dicha manipulación de datos no había existido.

También en noviembre se difunden los contenidos de más de medio millón de mensajes enviados por buscas y móviles durante los atentados del 11 de septiembre en EE UU. Entre esos mensajes hay conversaciones entre el Pentágono y la Policía de la ciudad de Nueva York.

Marzo de 2010 / Informes de inteligencia de EE UU

La web publica un análisis confidencial del Departamento de Defensa estadounidense, fechado en 2008, en el que se estudian métodos para evitar las filtraciones de Wikileaks y perseguir a quienes enviaban las informaciones al sitio.

Abril de 2010 / Ataque letal de un helicóptero de EE UU en Irak

Una grabación difundida por Wikileaks y titulada Collateral murder, (asesinato colateral, en inglés) mostraba el ataque de un helicóptero del Ejército estadounidense en Irak en el que mueren 12 personas, dos de ellas empleados de Reuters .

Julio de 2010 / Los diarios de Afganistán

Wikileaks filtra a The Guardian, Der Spiegel y The New York Times más de 76.607 documentos sobre el conflicto de Afganistán. En ellos se detallan muertes de civiles y víctimas por fuego amigo entre las tropas de la coalición de naciones que lucha contra la insurgencia talibán en el país asiático. Varias organizaciones humanitarias, entre ellas Amnistía Internacional, criticaron al director de Wikileaks, Julian Assange, por la publicación de datos que podrían poner en peligro la vida de quienes facilitaron la información.

Agosto de 2010 / Estampida humana en Duisburgo

El sitio de filtraciones da a conocer un polémico informe sobre la organización de la fiesta Love Parade en Duisburgo (Alemania) celebrada en julio y en la que murieron 21 personas a causa de una avalancha humana.

Octubre de 2010 / Los diarios de Irak

La web difunde a varios medios 391.832 documentos sobre la guerra de Irak. En ellos se relata la existencia de torturas, la muerte de civiles y las actividades de EE UU en suelo iraquí. El Pentágono calificó los hechos como "la mayor filtración de documentos secretos de la historia".

Acertijo en 6 por 6

El protagonista de este problema es un tablero de 6x6...

...y el objetivo es completarlo de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Cada una de las casillas con un círculo debe contener un número, que sólo puede ser, en cada caso, un 1 o un 4. En las demás casillas no habrá números.
2. Al terminar, debe haber al menos un 1 y al menos un 4.
3. Algunas de las casillas restantes contendrán minas (a modo de ayuda, una ya está colocada), otras, eventualmente, pueden quedar vacías.
4. Las casillas con círculos no contienen minas, ni pueden quedar vacías.
5. Como en el Buscaminas de Windows, cada número debe indicar cuántas minas hay en las casillas que están alrededor de él.

Que se diviertan....