Pan de Tiempos Bíblicos y Pan de Vida



Hoy la receta es contrario a lo que hacemos normalmente en que te invitamos a compartir con alguien el proceso... esta vez te pedimos que compartas el proceso contigo mismo.

¿Cómo es eso? Te proponemos un ejercicio de espiritualidad mientras haces este pan, luego puedes compartirlo con otros. Mientras hagas este proceso piensa en toda y cada una de las partes, piensa cómo así como el pan fuimos formados del polvo, una forma simbólica de decirnos "de la nada", de la ignorancia y del no saber, para ir creciendo en la fe y en los caminos de Dios. Para caminar de regreso al Padre. Así como esa masa cruda, inacabada pasa por proceso de calor, de horno, así pasa tu vida por épocas tristes o difíciles, de la misma manera esos procesos te ayudan a afirmar el carácter y a conocer tu alma, a tomar consistencia en tus ideas y de tu tiempo, tu mortalidad física y tu eternidad espiritual. Por otro lado con el mismo amor que haces tu pan, piensa que con mucho más amor Dios te ha modelado a ti, de forma única y especial. Y cuando tus panes estén listos y los lleves al horno, medita en cuánto has crecido, cuántos minutos has pasado en varios hornos. Pero qué bien se siente ya, viendo el problema atrás. Dios es nuestro maestro repostero, sólo ÉL sabe cuándo están sus panes, todos distintos, todos sabrosos. :)

Para que sepas un poco más de este pan...

El pan sin levadura o ácimo se elabora sin levadura, con harina integral y sin grasas. Puedes usar harina de trigo, cebada, u otros. Ácimo significa sin fermentar: el chapati algo similar a las pitas, las tortitas de maíz comunes en Centroamérica, la matzá o pan judío es la comida "oficial" de la Pascua judía y es probablemente el primer pan de la historia. Además te gustará saber que es mejor para la salud, se digiere fácilmente.

¿Qué necesitas?

  • 1 libra de harina integral.
  • 10 onzas de agua templada.
  • 2 cucharadas de aceite de oliva.
  • una pizca de sal
  • ¿NADA MÁS? ¡NO. NADA MÁS!

¿Cómo lo hacemos?

  • Hacemos una montaña de harina.
  • Hacemos un hueco en el tope y ahí echamos el agua templada, la sal y una cucharada de aceite.
  • Amasa todo durante unos 15 minutos y deja reposar envuelto en con un paño una hora.
  • Pasado este tiempo se aplana la masa con un rodillo y se hace una lámina de un espesor aproximado de medio centímetro.
  • Se coloca en una bandeja de horno, que habremos espolvoreado con harina, y se pincela con aceite de oliva.
  • Recuerda precalentarlo a 220º y hornéalo durante 20 minutos.

Sabías que...

Para judíos y cristianos el pan ácimo, sin levadura o sin fermentar tiene un significado especial.
La tradición judeocristiana cuenta que el pueblo de Moisés salió huyendo intempestivamente de Egipto, sin mucho tiempo para terminar de preparar el pan, por lo que durante el viaje hacia Israel el pan que se consumió era pan ácimo o sin fermentar. Por ello los judíos elaboran un pan ácimo llamado Matzá para ser consumido durante la conmemoración de la salida de Egipto, conocida como Pésaj.

Los cristianos católicos empleamos durante el rito de la Eucaristía una especie de pan ácimo, sin levadura y sin fermentar en forma de oblea llamada hostia, el cuerpo de Cristo, en conmemoración de la última cena de Cristo con sus apóstoles durante la cual él tomó pan ácimo, lo partió y lo repartió a sus discípulos. (Fuente: Wikipedia)


Pan de Vida:

Te recomendamos el mejor de los panes. El de la Palabra así que no hay que presentártelo...
porque lo has visto cientos de veces. Pero ¿Lo conoces? O aún no lo has metido al horno. ¿Qué esperas para disfrutarlo?







La crispación furiosa - García Montero.

La mansedumbre furiosa


La gente está indignada, muy indignada. Si atendemos a las intervenciones de los oyentes en la radio o de los paseantes en los informativos de televisión, escuchamos argumentos de santa indignación. Los medios periodísticos se han convertido en una seleccionada representación pública del furor privado. Todo se somete en tiempos de crisis a la valoración económica. La angustia real o imaginaria de muchas familias hace que cualquier asunto, hasta el canto de los pájaros, parezca un derroche.

Las discusiones sociales estallan como si los problemas fuesen el fruto de un Estado manirroto. Se aprueba por fin el uso en el Senado de las lenguas oficiales de España, y brota el escándalo. La existencia de esas lenguas y sus literaturas supone una riqueza sociocultural que nos debería alegrar. Pero el debate se reduce a la furia por un gasto humilde. Los que más invocan el amor a España demuestran una antipatía furiosa ante una realidad española compartida.

No se trata de un caso aislado. Las autonomías son llamadas ahora al debate político para simplificar su significación con la palabra déficit. Las radios y las televisiones públicas no simbolizan una necesaria inversión colectiva en las informaciones veraces, sino un gasto inútil. En vez de discutir sobre la seriedad profesional de sus directores, hablamos de sus pérdidas. Los funcionarios también son un abuso de la administración, empeñada en contratar personal, ¡con un empleo estable!, para atender a sus ciudadanos. Y el coche oficial en el que un alcalde o un consejero van de un sitio a otro a lo largo de las 24 horas del día, de una inauguración a un conflicto, resulta un lujo inadmisible. No digamos ya el sueldo de los sindicalistas que pierden el tiempo de asamblea en asamblea y de negociación en negociación para conseguir un convenio colectivo justo y defender los derechos de los trabajadores. Todos estos gastos producen indignación. El Estado es culpable.

No es extraño. Cuando hay crisis, las familias miden los gastos en aquello que conocen. Aunque la Administración pública no es todo lo transparente que debiera, los ciudadanos tienen por lo menos noticias de sus comportamientos. La lógica de los bancos y las multinacionales es mucho más opaca y queda muy lejos de la sabiduría popular. Por eso las familias hacen cuentas y deciden recortar los gastos que comprenden, es decir, la merienda del niño, la pastilla del abuelo y la programación teatral a la que está enganchada la hija mayor. Como el pensamiento crítico ha desaparecido, a la familia ya no se le ocurre pensar en otro tipo de economías. ¿Quién se atreve a decir que necesita un salario más digno o que los bancos deberían abusar menos con los intereses de sus préstamos? ¿Quién protesta por las privatizaciones de las eléctricas o por la especulación en el precio de la gasolina?

Esta situación produce una mansedumbre furiosa. Todo el mundo está indignado, verdaderamente indignado, pero dentro de la mansedumbre, porque nadie se atreve a rebelarse contra el poder. La indignación es así un sentimiento de rabia impotente, enjaulado en ese conjunto de soledades que componen las multitudes del siglo XXI. Las ilusiones colectivas dejan su lugar a las furias insolidarias. Los chivos expiatorios de esta mansedumbre furiosa, insolidaria por definición, somos nosotros mismos. Nuestro odio rebota y nos deja sin derechos. Se me puede argumentar que los políticos son muy criticados. Aunque su descrédito exige un debate extenso, permítaseme aquí resumir mi argumento. El verdadero crimen de los políticos no ha sido causar la crisis con sus gastos, sino la irresponsabilidad cívica de no atreverse a poner firmes a los verdaderos causantes. Así que el rencor contra los políticos forma también parte de la mansedumbre furiosa, porque sólo sirve para desviar la atención del horizonte financiero. Si fuera de otro modo, sería impensable que el desgaste del PSOE supusiese la victoria del PP.

Aclaro que soy consciente de la necesidad de ajustar gastos en la Administración y de que hay comportamientos éticos inadmisibles. Pero no quiero referirme ahora a eso. Hablo de la mansedumbre furiosa de una sociedad que no dirige sus protestas a los culpables reales de sus humillaciones. Ante la violencia del poder, se enfada, pero mira hacia otro lado y deja pendiente el camino de una serena y firme rebeldía.

Del blog ASALTAR LOS CIELOS EN BLOGSPOT.COM


DE LA TRAICIÓN DE CLASE CONSIDERADA COMO UNA DE LAS BELLAS ARTES




Con licencia de Thomas de Quincey, que ha inspirado el título de este artículo.

Marat



Historia de una infamia relatada por sus actores: Paganini (Gobierno, patronal, FMI) y sus asalariados de la traición de clase (CCOO y OGeTe):

"La historia se repite dos veces, la primera como tragedia (Huelga General del 29-S a la que los asalariados de la traición de clase fueron diciendo que era "una putada tener que convocar una Huelga General"), la segunda como farsa" (tras una Huelga General hecha para traicionar la lucha y lograr convertirse de nuevo en "interlocutor necesario").

La escenificación de "desacuerdos" de CCOO y OGeTe en sus escabrosas escenas del sofá con el Gobierno no es otra cosa que un intento de representar un sainete de púdica doncella esquiva a los requerimientos lúbricos de Don Juan (Gobierno, patronal, FMI) para su adocenada y apesebrada base de memos desmovilizados.

La conjura de los miserables daña del modo más indecente al auténtico sindicalismo de clase y abre las vías a la derecha PPera para que su futura cirugía de caballo golpee a los trabajadores como el mazo de Thor y lo haga entre la resignación social más desoladora que pueda imaginarse.

A menudo el caballo de Troya no es un regalo envenenado del enemigo declarado sino la traición de los que habitan dentro de la fortaleza sitiada.

Cubrir de salivazos el rostro de los canallas y a sus apologetas sería el acto más benévolo que podrían tener hacia ellos los trabajadores. Todo mi desprecio a esa caterva de pancistas y a sus apologetas con carné pero sin sangre.

Por insuficiente y mejorable que pueda ser el sindicalismo combativo de quienes sí se movilizan, hay en su voluntad de lucha infinitamente más dignidad que en las burocracias bienpagadas, en los delegados sindicales y las bases que callan, en los partidos de esa izquierda nominal que, desorientados y angustiados, se sorprenden de la traición de los mayoritarios pero no rompen con ellos, denunciando públicamente su ignominia.

Roma sí paga a traidores y lo hace bien, sea en especie (locales), en dinero sucio (con frecuencia alrededor de los momentos de negociación o “conflicto” pactado), bien en sinecuras particulares pero a todo cerdo le llega su San Martín.

La vileza de la que están haciendo gala acabará teniendo sus consecuencias porque hasta los más serviles y rastreros de quienes justifican el engaño y el apuñalamiento de los derechos de los trabajadores a manos de estos esbirros liberados del capital, hasta quienes los critican fieramente en petit comitè pero suavizan calculadamente sus condenas en público, acabarán pagando las consecuencias de la vileza de estos sEndEcatos verticales.

Se puede ser imbécil y cómplice de la traición mientras salga gratis pero la represión social que nos espera a todos con las nuevas leyes del Dracón liberal y las que vendrán después les alcanzará también a ellos, incluso a esos “sindicaleros” de comités de empresa de la función pública. También allí habrá despidos cuando los indecentes “mercados” exijan nuevos sacrificios humanos al dios Moloch. No hay bastante pesebre para tanto cabestro.

Es hora de comprender que quienes han unido su propia supervivencia y sus destinos al de este sistema que nos masacra son tan destruibles como el propio sistema al que sirven entregando a quienes en otro tiempo fueron sus hermanos. Ellos no son de nuestra clase. Ellos no son nuestro instrumento de lucha sino uno más de los aparatos que sustentan el sistema, lo legitiman y nos amordazan, después de desarmarnos y ponernos a los píes de los caballos del capital.

Aducir que no debe llamarse a abandonarlos en masa porque en ellos está la mayor parte de los trabajadores organizados y no hay sindicatos alternativos lo bastante fuertes para sustituirlos es, consciente o inconscientemente, tan criminal como defenderlos o justificarlos. Hace tiempo que esos organismos están muertos, sin sangre que circule por sus venas. En ellos sólo vegetan los que viven de parasitar a la clase trabajadora. No son organizaciones nuestras. Son otra cosa: nuestros enemigos, Actúan contra nosotros, nos apuñalan por la espalda, nos venden por 30 monedas no de plata, sino de cobre. Sus bases no son otra cosa que una burguesía mental y castrada para la lucha, mansos que ni siquiera los matadores al servicio del capital (gobiernos) quieren para un simulacro de lucha de clases porque deslucen la faena.
La lucha sindical y social ya no puede hacerse con ellos sino también contra ellos, los peores esquiroles.

Un diálogo

Fabián: Hola.
G.P.: Hola.
Fabián: ¿Puedo hacerle una pregunta?
G.P.: Sip.
Fabián: En esta entrada de su blog usted hace una comparación entre el problema de la cuadratura del círculo y el ajedrez.
G.P.: Sip.

Fabián: Usted dice en esa entrada que resolver el problema de la cuadratura del círculo es tan imposible como lograr que un alfil pase de una casilla negra a una blanca sin violar las reglas del ajedrez. ¿Entendí bien?
G.P.: Ajá...

Fabián: Sin embargo sí es posible, sin violar las reglas del ajedrez, que un alfil pase de una casilla negra a una blanca (o al revés).
G.P.: Eso es imposible.

Fabián: No, no lo es.
G.P.: Sí, sí lo es. Enunciémoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. Inclusive puedo demostrárselo matemáticamente, por inducción en la cantidad de movimientos del alfil.

Fabián: Todo muy bonito, pero imaginemos una partida en la que a las blancas le han capturado el alfil que inicialmente estaba en la casilla c1 (casilla negra), pero no le han capturado el otro alfil. Imaginemos también que, más delante en el mismo juego, el blanco corona un peón en una casilla blanca y que pide un alfil. Obviamente el rival le dará la misma pieza que antes le había capturado, así que el alfil, la misma pieza, que inicialmente estaba en c1 (casilla negra) pasa ahora a estar en una casilla blanca sin que las reglas del ajedrez se hayan violado.
G.P.: Pero no es el mismo alfil...

Fabián: ¿Cómo que no es el mismo? Claro que sí lo es, es el mismo objeto, la misma pieza que ha pasado desde c2 hasta una casilla blanca, en el transcurso de la misma partida y sin violentar las reglas de juego. Claro, pudo sufrir algún desgaste por el roce con las manos, perder algunas moléculas, pero si ése no es el mismo alfil, ninguna pieza es igual a sí misma.
G.P.: Okey. No me refería a eso. Admito que se trata de la misma pieza, del mismo objeto, pero...

Fabián: ¿Pero?
G.P.: (Piensa un rato.) De acuerdo. Digámoslo así: En el transcurso de una partida de ajedrez en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa.

Fabián: Sí, pero...
G.P.: ¿Pero?

Fabián: Muchas veces, en un match entre dos jugadores profesionales, una partida se suspende y se continúa más adelante, por ejemplo al día siguiente.
G.P.: ¿Hum?
Fabián: La posición se desarma y el juez el match la rearma al día siguiente, o cuando sea la reanudación, usando las mismas piezas.
G.P.: Ya veo a dónde quiere llegar, pero...
Fabián: Pero nada. Es posible que al rearmar la posición el alfil que estaba en una casilla negra sea colocado en una casilla blanca y/o viceversa.
G.P.: Pero no es la misma partida...
Fabián: Sí que lo es.

G.P.: (Piensa otra vez.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Está de acuerdo ahora?

Fabián: Hummm.
G.P.: ¿?
Fabián: Supongo que se refiere a las reglas actuales del ajedrez, porque quizás en el siglo XXII se agregue un movimiento especial, digamos un "alfil al paso" que permita...

G.P.: ¡Okey! En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, y en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón), en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Y ahora?

Fabián: Imagino dos amigos (no profesionales) que juegan para divertirse. En un momento dado uno de ellos le pide al otro si le permite intercambiar los alfiles (pasar el alfil que en está en la casilla A a la casilla B, y viceversa). No como una jugada, claro, sino como un mero reacomodamiento de piezas. Si sólo lo hace una vez, y su intención no es distraer al rival, el adversario podría aceptar y en ese caso el alfil en casilla blanca habrá pasado a...
G.P.: ¿Y por qué querría hacer eso?
Fabián: No sé, podría ser un capricho...

G.P.: ¿Permiten eso las reglas?
Fabián: "Nadie será obligado a lo que la ley no mande, ni privado de lo que ella no prohíba." La reglas, al menos las reglas que usan los amigos para jugar entre sí, no prohíben ese intercambio de piezas (si el rival está de acuerdo). Y si la reglas no prohíben, entonces lo permiten.

G.P.: Me parece que está exagerando.
Fabián: Las reglas lo permiten...
G.P.: Yo no lo permitiría.
Fabián: Recuérdeme no jugar al ajedrez contra usted...

G.P.: (Piensa un poco más.) En el transcurso de una partida de ajedrez, cuyo desarrollo no es suspendido para ser continuado en un momento posterior, en la que se respeten las reglas actuales del juego, en la que ninguno de los dos jugadores corone un alfil (es decir, pida un alfil al coronar un peón) y en la que ninguno de los dos jugadores pide permiso para reacomodar las piezas, en esa partida, digo, un alfil que inicialmente estaba en una casilla negra nunca pasará a una casilla blanca, o viceversa. ¿Y ahora?

Fabián: ¿Y si las reacomoda sin permiso?
G.P.: Estaría violando la reglas; aunque más no sea las reglas no escritas de la cortesía.

Fabián: Okey.
G.P.: ¿Está conforme?
Fabián: Por ahora sí, pero...

G.P.: ¿Pero...?
Fabián: ¿Cómo queda entonces su analogía con la cuadratura del círculo?

Continuará...

El Sombrerero Loco

Descripción

Llamo a este esquema El Sombrerero Loco: En una habitación hay cierto número de personajes; cada uno tiene un sombrero, que puede ser de color blanco o de color negro. Todos los personajes ven el sombrero que tienen los demás, pero nadie conoce ni puede ver el propio.

Se supone que los que tienen sombreros blancos deben hacer siempre afirmaciones verdaderas y que los que tienen sombreros negros deben hacer siempre afirmaciones falsas. Ahora bien, como al principio nadie sabe cuál es realmente su color de sombrero, cada personaje adopta al comenzar una postura cualquiera. Es decir, cada uno decide (independientemente de cuál sea su sombrero) hacer siempre afirmaciones falsas o hacer siempre afirmaciones verdaderas.

Cuando un personaje hace una afirmación, otro personaje puede advertirle que no se está comportando correctamente. Es decir, le puede decir que está haciendo una afirmación falsa cuando su sombrero en realidad es blanco, o que está haciendo una afirmación verdadera mientras que su sombrero es negro. La advertencia es así: No deberías decir eso. La advertencia opuesta es: Bien dicho. Claro está que quien hace esta advertencia podría, a su vez, estar mintiendo.

Cuando, a partir de lo que ve y de lo que oye, un personaje logra deducir cuál es su propio color de sombrero, entonces (sin ninguna advertencia) comienza a comportarse tal como este color indique. Si deduce que su color es negro, a partir de ese momento hará afirmaciones falsas; si deduce que es blanco, hará afirmaciones verdaderas (esto puede significar, o no, un cambio en el comportamiento que venía teniendo).

Observemos finalmente que todos oyen lo que dicen los demás y que todos son lógicos perfectos, es decir, conocen inmediatamente todas las consecuencias lógicas de lo que se dice.

El problema

Tenemos cuatro personajes, a los que llamaremos Abel, Benito, Carlos y Darío.

Abel le dice a Benito: Tu sombrero es negro.
Carlos le dice a Abel: No deberías decir eso.
Darío le dice a Carlos: Bien dicho.
Benito le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.
Darío le dice a Benito: No deberías decir eso.
Darío le dice a Abel: Tu sombrero es blanco.
Benito le dice a Darío: No deberías decir eso.
Abel le dice a Darío: Nuestros sombreros son del mismo color.

¿De qué color es el sombrero de cada uno? ¿Qué postura adoptó cada uno inicialmente?

Galletas de limón para deshacer corazones.


Ingredientes

Rinde alrededor 4 docenas

12 cucharadas (1 1 / 2 barras) de mantequilla sin sal, a temperatura ambiente
1 taza De azúcar glass o azúcar domino
Ralladura de 2 limones
2 cucharadas de jugo de limón recién exprimido
1 cucharada de extracto de vainilla pura
1 3/ 4 de taza más 2 cucharadas de harina para todo uso
2 cucharadas de fécula de maíz (maicena)
1 / 4 cucharadita de sal

¿Cómo preparamos esto?

Remoje su corazoncito en sus recuerdos... verifica si alguien con quien tienes una relación actualmente ha hecho o dicho algo que te causa dolor cada vez que lo recuerdas. Explora ese sentimiento... ¿cuál es la causa? ¿por qué te lo dijo? ¿Le preguntaste en aquel momento qué era lo que quería decirte? ¿has pensado si se expresó inadecuadamente? ¿te diste cuenta si estaba enojad@ y lo dijo sin pensar? ¿Qué hay detrás de ese comentario, o gesto, o acto?

Conozco una madre que solía regañar a sus hijas por todo. Si había un viaje y llovía, las regañaba, si se quedaba el carro sin combustible, si caía un meteorito peleaba con ellas igual. Pasaron los años y ya crecidas ninguna quería nunca salir con ella porque sabían que de todas maneras el viaje siempre iba a terminar con un regaño. Indispuestas como siempre salieron con ella, solamente para hacerla feliz. Luego de que las hiciera trabajar todo un fin de semana para preparar una fiesta, se enfermaron y resfriaron luego de estar bajo agua sol y sereno, para cuando vino la fiesta estaban con fiebre y cansadas. Y se limitaron a descansar un poco y a pasar la enfermedad como mejor pudieron. Como siempre su madre les armó una pelea por no compartir y estar alegres en la fiesta. Sus hijas nunca se habían atrevido a decirle nada, pero llegó el momento en que cansadas por tal situación le comunicaron cada cual a su manera que antes de la perfección con la que hay que hacer las cosas que ella quiere, está el amor que se demuestra a la hora de compartir. Y ella entendió su postura.

Según debes estar pensando la madre es mala y las hijas son buenas. Pues te digo que eso va más allá del bueno y del malo. Dentro del marco de valores de la madre que todo saliera perfecto y bien hecho era lo mejor que se le puede brindar a su familia, según ella aprendió de su abuela. Así que más que bueno o malo es aprender a escuchar lo que está detrás de cada reclamo, de cada palabra. Las intenciones... y eso solamente lo conseguimos hablando, conversando pero SOBRETODO ESCUCHANDO Y AMANDO.

Así que invita a tu persona especial a disfrutar de las galletitas... o si conoces a dos personas que necesitan hablar invítalos a tu casa. Ayuda en el proceso de reconciliación de tus hermanos. Porque en el fondo, todos somos uno.

En el recipiente de una batidora eléctrica provista de una paleta para batir,
crema demantequilla y 1 / 3 taza de azúcar hasta que esponje.
Añadir la ralladura de limón, el jugo y la vainilla, batir hasta que quede esponjoso.
En un tazón mediano, mezcle la harina, la maicena y la sal.

Agregar
a la mezcla de mantequilla y batir a velocidad baja hasta que se mezclen.
Tome dos pedazos de papel encerado de 8 por 12 pulgadas, enrolle la masa en dos rollos de 1/4 de pulgada de diámetro. Enfríe por lo menos 1 hora.

Caliente el horno a 350 grados.

Ponga los 2/3 taza de azúcar restante en una bolsa plástica con cierre ("ziploc").

Rebane la masa fría en rodajas 1/8 de pulgada de grosor, retire el papel antes. Póngalas sobre la badeja para galletas cubierta con papel para hornear, guarde una separación de 1 pulgada de distancia aproximadamente.

Hornee hasta que las galletas estén apenas doradas, durante unos 15 minutos más o menos.

Póngalas a enfriar sobre una rejilla, de 8 a 10 minutos. Luego póngalas dentro de la bolsa llena de azúcar, revuélvelas en la azúcar para recubrirlas. Póngalas en papelitos o platos para servir.

Hornee o congele la masa restante.

Guarde las galletas horneadas en un recipiente hermético hasta por 2 semanas.

Alégrate de lo que puedes hacer para reconciliarte genuinamente con otros y contigo mismo.
Y de lo que puedas hacer para que otros también tengan ese proceso. :)

El Omegón y todo eso... (Parte 18)

A la parte 17 - A la parte 19

Adenda sobre los puntos de acumulación

En esta entrada quiero ampliar la explicación del papel que jugó, en el desarrollo de la teoría de los ordinales, el concepto de "punto de acumulación". Fue mencionado en capítulos anteriores, pero ahora voy a profundizar en conceptos antes mencionados un poco al pasar.

Decíamos algunos capítulos atrás que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle. Allí Eduard Heine, su director, le planteó el siguiente problema: tenemos una función periódica f(x) que hemos desarrollado en serie de Fourier, si en cada período la cantidad de puntos singulares de f(x) (es decir, los puntos de discontinuidad de f(x) o puntos donde la serie es divergente) es infinita ¿podemos asegurar entonces que esa escritura en serie de Fourier de f(x) es la única posible (o, por el contrario, podrá haber otra serie diferente que converja a la misma función)?

Recordemos que Heine ya había resuelto afirmativamente la cuestión para una cantidad finita de punto singulares, Cantor se enfrentaba ahora al "caso infinito".

Dijimos también que, pocos meses después de planteado el problema, Cantor tenía ya una primera respuesta: puede asegurarse que la escritura es única siempre y cuando los puntos singulares estén distribuidos en la recta de una manera determinada. Pero Cantor, en primera instancia, no supo encontrar una manera clara y directa de describir cuáles eran las condiciones que debía cumplir esa distribución. Después de un tiempo logró obtener esa descripción clara y simple, y para ello creó el concepto de "punto de acumulación".

¿Qué es un punto de acumulación? Voy a dar la definición que dio Cantor, que él refería específicamente al caso de los números reales (posteriormente el concepto se llevó a contextos mucho más generales). Necesitamos previamente recordar qué significa que una sucesión de números converge a un límite L.

Una sucesión a(1), a(2), a(3),... converge a L si, fijada cualquier distancia épsilon, existe un número natural n (que depende de épsilon) tal que si m > n entonces la distancia entre a(m) y L se hace menor que épsilon. Traducido a un castellano más impreciso pero tal vez menos árido: a(1), a(2), a(3),... converge a L si, tomando n suficientemente grande, todos términos de la sucesión a partir de a(n) se acercan a L tanto como se quiera.

El ejemplo clásico es la sucesión a(n) = 1/n, cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4,... y que converge a 0.

Definición: Si P es un subconjunto de los números reales, decimos que b es punto de acumulación de P si existe una sucesión a(n) no constante y formada totalmente por elementos de P, tal que a(n) converge a b.

Por ejemplo, si P = (0,1), entonces 0 es punto de acumulación de P. Por ejemplo, una sucesión formada por elementos de P y que converge a 0 es a(n) = 1/(n + 1) (siempre tomaremos n = 1, 2, 3, 4,...). En realidad, es fácil ver que el conjunto de todos los puntos de acumulación de P es [0,1].

Ejercicio para el lector: Demuestre, a partir de la definición dada más arriba, que si P es finito entonces no tiene puntos de acumulación.

Definición: Llamaremos P', el derivado de P, al conjunto de todos los puntos de acumulación de P.

Por lo tanto, para P = (0,1), tenemos P' = [0,1].

Pasemos a otro ejemplo. Tomemos ahora P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}. Es decir, P está formado por el 0 y por todos los números de la forma 1/n con n = 1, 2, 3, 4,... Es evidente que 0 es punto de acumulación de P. ¿Qué pasa con los demás números?

Veamos, el 1 no es punto de acumulación de P. Si lo fuera, debería haber otros elementos de P tan cercanos al 1 como se desee (esos elementos serían los términos de la sucesión a(n) de los que habla la definición). Pero esto no sucede, ya que no hay otros puntos de P a manos de 1/2 de distancia del 1. Es decir, en todo el intervalo (1 - 1/2, 1 + 1/2) no hay elementos de P diferentes del 1 mismo. Por lo tanto, el 1 es un punto aislado de P y no es punto de acumulación.

Lo mismo sucede con el 1/2, ya que no hay puntos de P a distancia menor que 1/6 de él. Y también sucede con el 1/3, el 1/4, etc. Todos los puntos de la forma 1/n son puntos aislados de P. Por otra parte, es fácil ver que los puntos que no pertenecen a P tampoco son puntos de acumulación. Por lo tanto, para P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} vale que P' = {0}.

Por supuesto, podemos también definir el derivado del derivado e P que es (P')' = P". Y el derivado de éste: (P")' = P''', etc. A los que llamaremos derivado segundo, derivado tercero, etc.

Observemos que si P = (0,1) entonces P' = [0,1], P" = [0,1], P''' = [0,1], etc.

Por otra parte, si P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}, entonces P' = {0} y P" es el conjunto vacío (el derivado de {0}, como para todo conjunto finito, es el vacío). Tenemos así que el derivado segundo de P es el conjunto vacío.

¿Será posible hallar un conjunto P tal que su derivado tercero sea el vacío (pero ninguno de los anteriores)? La respuesta es afirmativa, pero la estudiaremos en el próximo capítulo...