El Omegón y todo eso... (Parte 19)
Derivados ad infinitum...(A la parte previa, A la parte siguiente)
Como decíamos ayer... estamos trabajando solamente con subconjuntos de los números reales. Recordemos, en ese contexto, cuál es la definición (una de las posibles) del concepto de punto de acumulación: un número r es punto de acumulación de un conjunto A si existe una sucesión a(1), a(2), a(3),.... formada por elementos de A, todos diferentes entre sí, tal que el límite de a(n) es r. (El número r puede, o no, pertenecer al conjunto.)
Con esta definición en la mano, observemos el conjunto A = {0}. Si lo miramos fijamente unos segundos no tendremos otro remedio que concluir que A no tiene puntos de acumulación (porque, de hecho, es imposible siquiera encontrar una sucesión formada por elementos de A todos diferentes entre sí).
Recordemos a su vez que Cantor llamó "conjunto derivado de A" (es decir, A') al conjunto formado por todos los puntos de acumulación de A. Luego, {0}' = vacío.
¿Seremos capaces de encontrar un conjunto B tal que B' = {0}? Un tal conjunto B debería contener una sucesión que tienda a 0, a fin de que este número se transforme en punto de acumulación de B. Luego, aunque no es la única opción, podemos tomar como B al conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}. Luego B' = {0}.
Notemos que, para lograr que el derivado sea el conjunto formado por el 0 le "agregamos" al conjunto {0} una sucesión que converge a ese número.
¿Podremos encontrar un conjunto C tal que C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}? Es decir, que 1, 1/2, 1/3,... sean todos puntos de acumulación de C (pregunta para el lector: ¿por qué no necesito mencionar al 0 en esta lista?). Pues bien, procedemos como antes, para obtener el conjunto C tomamos el 1 y agregamos una sucesión que converja a 1, tomamos después el 1/2 y agregamos una sucesión que converja a 1/2, etc.
El conjunto C tendrá entonces la forma siguiente: C = {0, 1, números de una sucesión que converge a 1, 1/2, números de una sucesión que converge a 1/2, 1/3, números de una sucesión que converge a 1/3,...}
De este modo, C' = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4,...}, C" = {0} y C''' = vacío.
Si a su vez quisiéramos hallar un conjunto D tal que D' = C tendríamos que agregarle a C una sucesión que converja a cada término de cada una de las sucesiones que agregamos en el paso anterior.
Y así, como hemos hecho más arriba, agregando sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones que convergen a los términos de las sucesiones... Cantor logró encontrar un conjunto P tal que al calcular la secuencia P, P', P'', P''',... los sucesivos conjuntos resultantes estaban cada uno de ellos contenido en el anterior (esto no es sorprendente, siempre P^(n+1) está contenido en P^(n)), pero además tal que ninguno de los conjunto de la secuencia era vacío y tal que, en el límite (cuando el número de derivadas tendía al infinito), se obtenía el conjunto {0}.
Con toda justicia Cantor dijo que P^(infinito) = {0}. Todavía, por unos segundos, podemos imaginar que este infinito es el infinito potencial del límite (el "ocho acostado"). Pero entonces Cantor dio el paso que lo llevó a la imnortalidad: derivó otra vez. Y resulta que: (P^(infinito))' = P^(infinito + 1) = vacío. Y en consecuencia, inevitablemente, infinito + 1 no puede ser igual a infinito (porque P^(infinito + 1) no es igual a P^(infinito)).
Por supuesto, Cantor enseguida comprendió que si infinito + 1 no es igual a infinito entonces infinito + 1 no es igual a infinito + 2, ni a infinito + 3,..., infinito + infinito, etc. Estos infinitos no podían ser "potenciales", no podían ser "los del límite" (porque para el infinito del límite sí es cierto que infinito + 1 = infinito).
Tan revolucionaria era esta idea, que aun el propio Cantor, inicialmente negó la "existencia real" de estos infinitos. Durante casi diez años les negó entidad, hablaba de una "creación dialéctica de símbolos sin significado". Pero a medida que trabajaba con estos símbolos, que descubría su aritmética y su orden terminó finalmente por aceptar que había descubierto una nueva clase de números, a los que llamó números ordinales u ordinales transfinitos.
En la parte siguiente se inicia el estudio de estos números...
(A la parte previa, A la parte siguiente)
LIBROS DE NAVIDAD...
LIBRO: VIVIR LA NAVIDAD AUTOR: RUPNIK, MARKO PRECIO: $14.95 Este librito, no quiere ser más que una ventana de hoy abierta al misterio siempre vivo del Nacimiento de Cristo. Puede servir como idea para la predicación en días de gran cantidad de trabajo y labor pastoral, como son las festividades navideñas de nuestras comunidades eclesiales.  LIBRO RECOMENDANDO: Y VUELVE LA NAVIDAD AUTOR: CHIARA LUBLICH PRECIO: $6.25 +IVU Un libro para leer y regalar, para descubrir de nuevo el significado de la Navidad. La Navidad vuelve a ser ilusión y belleza; un florecer de amor, de ansias de actuar y creer. Es la lucides y la felicidad de sentirse en compañía de Otro. Es el gozo y la certeza de la libertad. Es Dios.  CD RECOMENDADO: CANTEMOS EN NAVIDAD VOLUMEN 1 Y 2 AUTOR: GRUPO ENSAMBLE / PAULINAS COLOMBIA PRECIO: $22 + IVU C/U Villancicos tradicionales como Cantad, Cantad, El Tamborilero, El Duraznero, entre otros. PARA DISFRUTAR CON LOS MAS CHICOS LA NAVIDAD  LIBRO RECOMENDADO: NAVIDAD FIESTA DE TODOS Y PARA TODOS AUTOR: CASALA, MARIA INES PRECIO: $4.75 + IVU Este libro es fruto de años de trabajos preparatorios a la celebración de la Navidad que han realizado las autoras, en distintos ámbitos y con características socioculturales muy diversas. Está destinado a niños de jardín, nivel inicial y primer ciclo de E.G.B; al trabajo con sus familias y los docentes, y para la comunidad en general. Nos ofrecen novedosos y prácticos recursos para utilizar en cada taller o encuentro, con la intención de ayudar a que se genere un verdadero clima de oración y alegría a la hora de preparar la celebración de la Navidad. CONSIGUELOS EN PAULINAS ARZUAGA 787.765.4390 / PAULINAS ROOSEVELT787.763.5441 O ESCRIBENOS A PAULINASPR.VM@GMAIL.CO |
