Ocean: Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems

Ocean: Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems
Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems is essential to be able to predict the future of marine resources. The zones concerned by this upwelling of cold deep water, which is very rich in nutrients, provide up to 20 % of global production of fish. ...

El ácido sulfhídrico ‘amenaza’ las praderas de Posidonia

La acumulación de ácido sulfhídrico en el fondo marino es uno de los factores que más amenazan la supervivencia de Posidonia oceanica, una especie endémica del Mediterráneo. Así lo ha constatado un equipo con participación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) que ha estudiado durante ocho años las praderas que forma esta planta en las Islas Baleares. Los resultados, publicados en la revista Global Change Biology, determinan que el aumento de la temperatura máxima de la superficie del mar está relacionado con un mayor estrés de la especie por sulfhídrico. Según los científicos, el aumento de la temperatura promueve la descomposición de la materia orgánica y, por tanto, la acumulación de ácido en los sedimentos en condiciones de falta de oxígeno. Simultáneamente, el aumento de la temperatura intensifica la respiración de la planta y, por tanto, su capacidad para mantener los tejidos oxigenados. El sulfhídrico puede entonces penetrar en la planta a través de las raíces y llegar a causar un estrés tóxico y, en algunos casos, la muerte. “Se sabe que la Posidonia  es muy vulnerable al ácido sulfhídrico, incluso aunque las concentraciones sean bajas. Un aporte importante de materia orgánica resultado de la contaminación humana afectará a la supervivencia de esta especie”, destaca Rosa García, investigadora del CSIC en el Instituto Mediterráneo de Estudios Avanzados, mixto del CSIC y la Universidad de las Islas Baleares. Los investigadores han medido las tasas netas de crecimiento de la población en cada pradera y el isótopo estable de azufre, indicador de la acumulación del sulfhídrico, en muestras de hojas, sedimento y agua. “Con estos parámetros hemos calculado el porcentaje de azufre presente en la planta que proviene del ácido sulfhídrico acumulado en el sedimento. Además, hemos utilizado el isótopo de azufre como indicador de toxicidad en las hojas. También hemos relacionado los datos de azufre con una serie temporal de temperaturas máximas anuales del agua del mar recopiladapara las diferentes islas, la profundidad de las praderas y las tasas de crecimiento”, ha detallado García. Según el estudio, a mayor profundidad las praderas están menos expuestas al estrés por sulfhídrico. No obstante, los científicos prevén que la profundidad no será suficiente para paliar las consecuencias de las temperaturas proyectadas para finales del siglo XXI, incluso aunque se tengan en cuenta escenarios moderados de emisión de gases de efecto invernadero. “Uno de los escenarios modela el estrés por azufre en un gradiente de 40 metros de profundidad a la temperatura máxima estimada en el mar Mediterráneo para finales del siglo XXI. El modelo predice que las praderas de Posidonia estarían afectadas por el estrés por sulfhídrico hasta los 40 metros de profundidad,  exacerbando así el declive de la especie y comprometiendo su supervivencia”, agrega la investigadora del CSIC. Una especie desprotegida Desde principios del siglo XX, entre el 5% y el 20% del área cubierta por Posidonia oceanica se ha perdido debido principalmente al impacto humano. El calentamiento global ha emergido en los últimos años como una amenaza para esta especie de crecimiento extremadamente lento y con una longevidad milenaria. En Baleares, las plantas que pueblan los fondos marinos se encuentran actualmente en regresión, no sólo por el calentamiento del agua, sino también por perturbaciones locales como la contaminación o los anclajes de las embarcaciones. Estudios previos han revelado que la densidad de la especie podría disminuir un 90% a mediados de este siglo debido al calentamiento del agua superficial del mar Mediterráneo. Entre los beneficios ecosistémicos que podrían llegar a desaparecer, destaca el enterramiento de dióxido de carbono, el reciclado de nutrientes, la protección costera de la erosión y el aumento de la biodiversidad. Referencia Bibliogáfica Rosa García, Marianne Holmer, Carlos M. Duarte, Núria Marbà. Global warming enhances sulphide stress in a key seagrass species (NW Mediterranean). Global Change Biology. DOI: 10.1111/gcb.12377

Los números normales y la aritmética

Los números normales en base 10 son aquellos números reales cuyos dígitos se comportan esencialmente como si hubieran sido generados aleatoriamente (una definición más rigurosa puede verse en este enlace). Una característica que será importante para nosotros en esta entrada es que cualquier secuencia finita de dígitos aparece al menos una vez (infinitas veces en realidad) en la escritura decimal de cualquier número normal. Por otra parte, como es casi evidente, esta definición puede generalizarse y es así como se dice que un número real es normal si cumple la definición anterior para cualquier base b.

Aunque puede probarse que existen infinitos números normales (de hecho, en cierto modo existen "más" números normales que los que no lo son) hay muy poco números de los que se haya podido probarcon certeza que son normales. Se conjetura, aunque aún no se ha podido probar, que números como pi, e o la raíz cuadrada de 2 son normales.

En lo que sigue vamos a suponer que si a es un entero positivo que no es potencia de 10 entonces log(a), el logaritmo en base 10 de a, es normal en base 10. Hasta donde conozco, este hecho no ha sido tampoco demostrado, sin embargo creo que se trata de una suposición que cualquier matemático aceptaría como altamente razonable. Hecha esta suposición, la intención es demostrar que si a no es una potencia de 10 entonces, dada cualquier secuencia finita de dígitos, existe siempre una potencia de a que comienza con esa secuencia. Por citar un ejemplo al azar, existe una potencia de 2 que comienza con 999.

Comencemos por observar que si x e y son números reales entonces existe un número racional q con expresión decimal finita tal que cualquier número real que comience con las cifras de q estará comprendido entre x e y. No es difícil hacer la demostración formal, pero sólo lo mostraré con un ejemplo: si x = 2,34679098867.... (no importa qué cifras sigan) e y = 2,346800.... (ídem) entonces podemos tomar q = 2,346791; es claro que cualquier número que comience con 2,346791... estará comprendido entre x e y.

Vamos a probar ahora que si a no es una potencia de 10 y M es un entero positivo entonces existe una potencia de a que comienza exactamente con los dígitos de M. Pero no vamos a probarlo en general, sino que vamos a probar que existe una potencia de 2 que comienza con 999, será claro que el método que usaremos puede reproducirse para cualquier a y cualquier M.

Tomamos x = log(M) = log(999) = 2,9995654... e y = log(+ 1) = log(1000) = 3; buscamos a continuación un número q como el que describimos más arriba. En este caso podemos tomar q = 2,999566. Es claro que todo número que comience con 2,999566... estará comprendido entre log(M) y log(M + 1).

Dentro de la escritura de log(a) = log(2) buscamos los dígitos que aparecen en q (es decir, 2999566). En nuestro ejemplo podemos hallarlos rápidamente ya que log(2) = 0,30102999566... Multiplicamos entonces log(a) por una potencia de 10 conveniente como para lograr que la coma decimal quede ubicada en la misma posición que en el número q, en este caso la potencia es 100.000:


En consecuencia:


Por lo tanto, 2 elevado a la 100.000 tiene 30.104 cifras que comienzan con 999. Es claro que lo mismo puede hacerse con cualquier número a que no sea potencia de 10 y cualquier número M.

De hecho, si suponemos que toda vez que a no es potencia de b entonces el logaritmo en base b de a es normal, podemos también probar que si M es cualquier entero escrito en base b y a no es potencia de b entonces existe una potencia de a cuya escritura en base b comienza con M.

Una cita sobre Cantor

Georg Cantor
El 16 de diciembre de 1899 muere Rudolf Cantor, de 13 años de edad, hijo menor de Georg Cantor. Georg nunca podrá recuperarse de esta terrible pérdida, que le desencadenará un grave trastorno mental a consecuencia del cual, en los años sucesivos, deberá ser hospitalizado varias veces en una clínica psiquiátrica de Halle (ciudad alemana donde vivía desde 1869). Su sobrina Alice Guttmann, que en distintos años pasó muchas semanas en casa de los Cantor, recordaría tiempo después:

Mi tío permanecía encerrado en su cuarto de estudio, enormemente grande, cuyas cuatro paredes estaban todas cubiertas de libros desde el suelo hasta el techo. Allí parecía vivir su vida, para sí mismo, aislado en sus propios planetas, desconocido para el resto de nosotros. Por más que me hubiera gustado conocerle de verdad, él nunca estaba visible. En casa de mis padres pude escuchar una y otra vez comentarios que indicaban cómo mi padre (su cuñado) tenía en muy alto el carácter de mi tío, su pureza y su bondad, y cómo le impresionaba enormemente su grandeza de espíritu. Mi padre parecía divinizar a mi tío. También se hablaba de sus ausencias periódicas, durante días, del hogar propio en Halle, el cual abandonaba repentinamente y «de su propio pie», por así decir. Luego era llevado a un hospital y más tarde volvía a casa y todo parecía volver a tomar su camino usual; hasta la próxima vez. Me hice una imagen de sus estados de ánimo sobreexcitados, exaltados, pero no querría emitir un juicio al respecto, y en realidad no podría.  

[La cita final es de: CANTOR, Georg, Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta), edición de José Ferreirós; Barcelona, Crítica, 2006.]

El volcán submarino Tamu cerca de Japón es el más grande del mundo

Científicos de la Universidad de Houston, en Estados Unidos, han podido confirmar por fin que el Macizo submarino Tamu, situado a 1.600 kilómetros al este de Japón, es el mayor volcán del mundo y uno de los más grandes del Sistema Solar. Tiene 310.000 kilómetros cuadrados de superficie, y su base se encuentra a 6 kilómetros de profundidad.


Macizo Tamu, volcán submarino al este de Japón. Fuente: UH.

Un profesor de la Universidad de Houston (UH), en Estados Unidos, ha dirigido a un equipo de científicos en las labores de identificación del mayor volcán de nuestro planeta, aún no documentado en la Tierra.

Con una superficie equivalente a las Islas Británicas o el estado de Nuevo México, este volcán, conocido como Tamu Massif (Macizo de Tamu), es casi tan grande como los volcanes gigantes de Marte, y se sitúa entre los más grandes del Sistema Solar.

William Sager, profesor en el Departamento de Ciencias Terrestres y Atmosféricas de la UH, comenzó estudiando el volcán hace unos 20 años en la Facultad de Ciencias de la Tierra de la Texas A&M. Los hallazgos de Sager y su equipo aparecerán en la edición del 8 de septiembre de la revista Nature Geoscience, la revista multidisciplinaria mensual que refleja disciplinas dentro de las ciencias de la Tierra.




Bathymetry of Shatsky Rise showing the world’s largest volcano, Tamu Massif, at its southern end. A shadow basal contour of Mars’ Olympus Mons appears in the lower right corner of the image for comparison. Image credit: Willam Sager, University of Houston.



Situado a unos 1.000 kilómetros al este de Japón, Tamu Massif es la característica más grande de Shatsky, una cordillera submarina formada entre 130 a 145 millones años atrás por la erupción de varios volcanes submarinos. Hasta ahora, no estaba claro si Tamu Massif era un solo volcán, o un compuesto de muchos puntos de erupción. Mediante la integración de varias fuentes de evidencia, incluyendo muestras del núcleo y los datos recogidos a bordo del buque de investigación JOIDES Resolution, los autores han confirmado que la masa de basalto que constituye Tamu Massif, efectivamente, es de la erupción desde una sola fuente cerca del centro.


"Tamu Massif es el mayor volcán solitario de escudo que se haya descubierto en la Tierra", dijo Sager. "Puede haber volcanes más grandes, porque hay grandes características ígneas por ahí, como la Meseta Ontong en Java, pero no sabemos si estas características son un volcán o volcanes complejos".


Tamu Massif se destaca entre los volcanes submarinos no sólo por su tamaño, sino también por su forma. Es baja y ancha, lo que significa que los flujos de lava de la erupción deben haber viajado largas distancias en comparación con la mayoría de los volcanes de la Tierra. El fondo del mar está salpicado de miles de volcanes submarinos, o montes submarinos, la mayoría de ellos son pequeños comparados con la amplia extensión del Tamu Massif.


"No es alto, pero muy amplio, por lo que sus laderas tienen pendientes muy graduales", dijo Sager. "De hecho, si estuviéramos de pie en su flanco, tendríamos problemas para distinguir qué camino es cuesta abajo. Sabemos que se trata de un inmenso volcán solitario construido a partir de los flujos masivos de lava que emanaban desde el centro del volcán para formar una gran forma de escudo. Hasta ahora, no sabemos porque esas mesetas oceánicas son grandes rasgos ocultos bajo el mar y han encontrado un buen lugar para esconderse".


Tamu Massif tiene una superficie de unos 120.000 kilómetros cuadrados. En comparación, el Mauna Loa de Hawaii - el volcán activo más grande de la Tierra - es de aproximadamente 2.000 millas cuadradas, o aproximadamente el 2 por ciento del tamaño de Tamu Massif. Para encontrar una comparación digna, hay que mirar hacia el cielo al planeta Marte, donde se encuentra el Monte Olimpo. Ese volcán gigante, que es visible en una noche clara con un buen telescopio de aficionado, es sólo un 25 por ciento más grande en volumen que el Tamu Massif.


El estudio se basa en dos fuentes distintas, pero complementarias, de pruebas - muestras de núcleos recogidos en el Programa Integrado de Perforación Oceánica (IODP) durante la Expedición 324 (Formación Rise Shatsky) en 2009, y los datos de reflexión sísmica que se reunieron en dos expediciones distintas del R/V Marcus G. Langseth en 2010 y 2012. Las muestras de núcleos, perforados desde varios lugares en Tamu Massif, mostraron que los flujos de lava tenían hasta 75 pies de espesor, lo que caracterizan a este volcán. Los datos sísmicos de los cruceros del R/V Langseth revelaron la estructura del volcán, lo que confirma que los flujos de lava emanaban de su cumbre y fluyeron a cientos de kilómetros descendiendo en las cuencas adyacentes.


Según Sager, Tamu Massif se cree que tiene alrededor de 145 millones de años, y se hizo inactivo dentro de unos pocos millones de años después de su nacimiento. Su cima se encuentra a unos 6.500 pies bajo la superficie del océano, mientras que gran parte de su base se cree que está en aguas que tienen casi cuatro millas de profundidad.


"Su forma es diferente de cualquier otro volcán submarino que se encuentra en la Tierra, y es muy posible que nos pueda dar algunas pistas sobre cómo se pueden formar estos enormes volcanes", dijo Sager. "Una inmensa cantidad de magma vino del centro y este magma tenía que haber venido de la capa de tierra. Así que esta es una información importante para los geólogos que tratan de entender cómo funciona el interior de la Tierra".


El proyecto fue financiado por la National Science Foundation, tanto a través de subvenciones directas y por medio de su Programa Integrado de Perforación Oceánica, un programa de investigación internacional dedicada al avance del conocimiento científico de la Tierra a través de la perforación, extracción de muestras y el control de la planta submarina.


Artículo científico: 


An immense shield volcano within the Shatsky Rise oceanic plateau, northwest Pacific Ocean

 http://www.nature.com/ngeo/journal/vaop/ncurrent/full/ngeo1934.html

Descubren enormes plumas submarinas de hierro de respiraderos hidrotermales en el Atlántico Sur



[Gallery Photo]

Analyses of some of the seawater samples gathered during the CoFeMUG expedition revealed a plume of iron and manganese released to the South Atlantic Ocean along the Mid-Atlantic Ridge, where as yet undiscovered hydrothermal vents are located.  The figure plots ocean depth and sampling location, with elevated iron concentrations indicated by warm colors (red, orange, etc).  The higher iron concentrations persist for more than 1,000 km, which suggests that hydrothermal vents serve as important iron sources. (Figure by Abigail Noble, Woods Hole Oceanographic Institution)


The map shows the location of the ocean section where the plume was detected, highlighted in red. (Figure by Abigail Noble, Woods Hole Oceanographic Institution) [Gallery Photo]

Científicos han hecho un asombroso descubrimiento en las profundidades de las aguas del Océano Atlántico Sur. Han encontrado una gran columna de hierro de más de 600 millas de largo que salía de las chimeneas hidrotermales. El hallazgo no sólo pone en duda las estimaciones anteriores de la abundancia de hierro, sino también puede cuestionar los supuestos acerca de las fuentes de hierro en los mares del mundo.

Los investigadores en realidad no iban a buscar hierro en el Atlántico. En cambio, querían mapear la composición química y la vida microbiana a lo largo de una ruta entre Brasil y Namibia. Y yendo por esta ruta en barco, se tomaron muestras del agua de mar a intervalos frecuentes y múltiples profundidades. Esto les permitió recopilar información acerca de las diferentes áreas, y aprender más acerca de la composición química del océano.




A lo largo de su recorrido, los investigadores cruzaron la Cordillera del Atlántico Medio. Esta banda de montañas y valles se localizan a lo largo del fondo del Océano Atlántico, desde el Ártico hasta la Antártida. A lo largo de esta cordillera están las fuentes hidrotermales, fisuras en la corteza terrestre. Sin embargo, estos respiraderos aún no se han estudiado ampliamente pero se cree que en las dorslales de lenta expansión son menos activos que en los que se extienden rápidamente.

Después de analizar sus muestras, sin embargo, los investigadores encontraron niveles extremadamente altos de hierro y manganeso. Una vez que se mapeo de dónde procedían estas muestras, encontraron que las muestras formaba"Nunca habíamos visto algo así", dijo Mak Saito, uno de los investigadores, en un comunicado de prensa. "Estábamos en una especie de shock al ver este gran ojo de buey en el medio del Océano Atlántico Sur. No sabíamos muy bien qué hacer con él, porque iba en contra de muchas de nuestras expectativas".


Las conclusiones de hecho parecen demostrar que, a diferencia de las creencias anteriores, las dorsales de expansión lenta no son deficientes en hierro. Además, plantea interrogantes sobre el uso de helio como un indicador de flujo de hierro en los respiraderos hidrotermales. Puesto que el hierro es un elemento fundamental para la vida del océano, esto tiene enormes implicaciones para futuros estudios.n una columna distinta.


"Tenemos que entender que el hierro se encuentra en el océano y después entender con certeza el papel del hierro en el ciclo del carbono marino", dijo Saito en un comunicado de prensa.


Actualmente, los investigadores planean llevar a cabo estudios futuros que pueden revelar la forma exacta y la extensión de la pluma. Esto podría mostrar exactamente qué parte de su hierro y otros micronutrientes persisten y se elevan a la superficie, lo que podría revelar un poco más sobre el ciclo de nutrientes del océano.


Artículo científico:  Slow-spreading submarine ridges in the South Atlantic as a significant oceanic iron source


Reference: Mak A. Saito, Abigail E. Noble, Alessandro Tagliabue, Tyler J. Goepfert, Carl H. Lamborg, William J. Jenkins.Nature Geoscience, 2013; DOI: 10.1038/ngeo1893

Algunos conceptos relacionados con el Teorema de Gödel

1. El Programa de Hilbert

Los teoremas de Gödel, publicados en 1931, nacieron en el contexto de una larga polémica sobre los fundamentos de la matemática cuyos orígenes se remontan a la década de 1870 con el descubrimiento por parte de Georg Cantor de los cardinales transfinitos, y que se había intensificado a partir de 1902 tras el hallazgo de la paradoja de Russell.

El campo de batalla de esta polémica era nada menos que el infinito. La escuela constructivista, encabezada por L.E.J. Brouwer, sostenía que la introducción del infinito en acto en matemática era absurda e injustificada y que la teoría de los transfinitos de Cantor era solamente un juego de palabras sin sentido. Los únicos objetos matemáticos válidos, sostenía esta escuela, son aquellos que se pueden construir mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Hacia 1920, con el objetivo fundamental de defender a la teoría de Cantor (y bajo el lema “Del paraíso que Cantor creó para nosotros nadie podrá expulsarnos”), interviene en la polémica el matemático alemán David Hilbert quien, en una serie de artículos publicados a lo largo de siguientes diez años, propone el que hoy es conocido como el Programa de Hilbert y que, en esencia, quitaba la exigencia de finitud y de constructividad de los objetos matemáticos para desplazarla a los razonamientos matemáticos.

Con más precisión, Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo el verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Para evitar polémicas, y para asegurarse de que no surgieran paradojas, esta ciencia sería puramente sintáctica: la metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía mecánicamente.

Se ha dicho en muchos textos de divulgación que el Programa de Hilbert proponía reducir la matemática a un juego de símbolos carente de significado; se ha dicho también que para Hilbert el concepto de "verdad matemática" carecía de sentido. Nada de esto es correcto. Hilbert era ante todo un investigador matemático, el mejor de su tiempo, por lo que es inimaginable que pudiera pensar de esa manera. Hilbert atribuía la reducción a simples manipulaciones de símbolos a la metamatemática, no a la matemática en sí. Los matemáticos, para Hilbert, seguirían trabajando como siempre han hecho a nivel semántico, un nivel lleno de significados. El matemático, en el día a día, trabaja, crea, conjetura y demuestra, como si lo que tuviera entre manos fueran objetos reales. La metamatemática, según la idea de Hilbert, trabajaría a nivel sintáctico y sólo proveería los métodos para verificar si los razonamientos que el matemático ha hecho son correctos.
En concreto, el Programa de Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la aritmética que cumpliera las siguientes cuatro condiciones:

a) El sistema debía ser consistente; es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables.
b) La validez de cualquier demostración debía ser verificable por manipulaciones mecánicas en una cantidad finita de pasos. Traducida a un lenguaje moderno, esta condición dice que debía ser posible, al menos en teoría, programar una computadora de tal modo que fuese capaz de verificar la validez de los razonamientos matemáticos,
c) Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable.
d) La consistencia de los axiomas debía ser verificable mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Como se ha dicho, Hilbert fue dando forma a este programa a lo largo de la década de 1920; sin embargo, en 1931 los teoremas de Gödel demostraron que esas cuatro condiciones no pueden cumplirse a la vez.

Concretamente, el primer teorema de incompletitud de Gödel dice que si se cumplen las condiciones a) y b) entonces necesariamente la condición c) falla. Por su parte, el llamado segundo teorema de incompletitud de Gödel, del que no nos ocuparemos aquí, prueba que si se cumplen las condicoiones a) y b) entonces es la condición d) la que falla.

2. La numeración de Gödel

En lo que sigue, expondremos las ideas principales de la demostración del primer teorema de Gödel. Supongamos, entonces, que se ha dado un conjunto de axiomas para la aritmética que cumple las condiciones a) y b). En realidad, a los efectos de nuestro desarrollo, y para evitar tecnicismos, supondremos que todos los axiomas propuestos son enunciados verdaderos.

Estrictamente hablando, esta última hipótesis no es necesaria para demostrar el primer teorema de Gödel, sin embargo, por una parte, es obvio que se trata de una suposición perfectamente razonable (nadie propondría seriamente basar la aritmética en axiomas falsos). Por otra parte, además, suponer que los axiomas son enunciados verdaderos implica inmediatamente que estos satisfacen la condición a); en efecto, si todos los axiomas son verdaderos entonces los teoremas que se deducen de ellos son también enunciados verdaderos. En otras palabras, es imposible demostrar un enunciado falso, por lo que, tal como pide la condición a), nunca sucederá que exista un enunciado P tal que él y su negación sean a la vez demostrables.

Como se ha dicho más arriba, supondremos también que se cumple la condición b), es decir, que la validez de toda demostración basada en los axiomas elegidos es verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

El comienzo de la demostración del primer teorema de Gödel consiste en asignar a cada enunciado aritmético un número natural, llamado el número de Gödel de ese enunciado. Por ejemplo, al enunciado “2 es un número par” podría corresponderle el número de Gödel 23.627; o al enunciado “22 es un número primo” podría corresponderle el número de Gödel 11.705.

Debemos hacer aquí varias aclaraciones. La primera es que el enunciado “22 es un número primo” es evidentemente falso; en efecto, Gödel le asigna un número a cada enunciado aritmético, tanto a los verdaderos como a los falsos. La segunda aclaración, muy importante, es que la asignación de los números de Gödel no se hace al azar; los ejemplos mostrados más arriba son puramente hipotéticos y tienen el único objetivo de ejemplificar la idea de que a cada enunciado se le asigna un número. Estos ejemplos no deben ser tomados de ninguna manera como representativos del modo en que los números de Gödel son asignados. En realidad, antes de hacer la asignación cada enunciado debe ser traducido a un lenguaje formal estrictamente definido; sólo después de que esa traducción se ha completado el número de Gödel correspondiente al enunciado en cuestión es calculado mediante un procedimiento algorítmico rigurosamente especificado. En la práctica, de hecho, el número de Gödel de cualquier enunciado, aun de los más simples, tiene siempre una gran cantidad de cifras.

Una vez que se ha asignado un número de Gödel a cada enunciado, queda bien definido el conjunto de los números de Gödel de todos los enunciados que son demostrables a partir de los axiomas propuestos. El grueso de la demostración del primer teorema de Gödel consiste en probar que ese conjunto de números puede definirse apelando únicamente a propiedades aritméticas (que son las propiedades referidas a los números naturales que son expresables en términos de la suma, el producto y las operaciones lógicas usuales). Es decir, la propiedad lógica “Es el número de Gödel de un enunciado demostrable” puede traducirse a una propiedad puramente aritmética (aunque no siempre lo explicitemos, debe entenderse en todo momento que “demostrable” significa “demostrable a partir de los axiomas aritméticos propuestos”). Por ejemplo, podría suceder que los números de Gödel de los enunciados demostrables sean exactamente los números primos terminados en 7. Una vez más debemos aclarar que este último ejemplo es puramente hipotético y sólo tiene la intención de mostrar lo que entendemos por “propiedad aritmética”. En la práctica, la propiedad aritmética que define a los números de Gödel de los enunciados que son demostrables a partir de un cierto conjunto de axiomas es siempre muy compleja de enunciar.

Es importante destacar también que es en este punto de la demostración donde entra en juego la hipótesis b). En efecto, puede probarse que si se admiten métodos de demostración que no son verificables algorítmicamente  entonces no es necesariamente cierto que la propiedad de ser el código de Gödel de un enunciado demostrable sea expresable mediante propiedades aritméticas.

3. El método de autorreferencia

Planteemos un nuevo ejemplo hipotético; imaginemos que al enunciado “23.409 es un número par” le correspondiera el número de Gödel 23.409. Podríamos entonces parafrasear este enunciado como diciendo, falsamente, que “Mi número de Gödel es par”.

Ahora bien ¿es razonable suponer que existe un enunciado que se refiera a su propio número de Gödel? En realidad sí es razonable, porque Gödel probó que, dada cualquier propiedad aritmética, como por ejemplo “Es un número par” o “Es un número primo”, siempre existe un enunciado aritmético que puede parafrasearse como diciendo que su propio número de Gödel cumple esa propiedad. Es decir, existe necesariamente un número n tal que al enunciado “n es par” le corresponde el número de Gödel n y un número m tal que al enunciado “m es primo” le corresponde el número de Gödel m. En otras palabras, Gödel mostró un método para obtener enunciados autorreferentes.

Dijimos antes que la propiedad “Es el número de Gödel de un enunciado demostrable” es traducible a una propiedad aritmética; de la misma forma, también es traducible la propiedad “No es el número de Gödel de un enunciado demostrable” (en el contexto del ejemplo hipotético dado más arriba, “No es el número de Gödel de un enunciado demostrable” equivaldría a “No es cierto que es un número primo terminado en 7”).
En consecuencia, por lo dicho más arriba, existe necesariamente un número k tal que al enunciado “k no el número de Gödel de un enunciado demostrable” (que en el ejemplo hipotético equivale a “No es cierto que k es un número primo terminado en 7”) le corresponde el número k. En otras palabras, ese enunciado dice, “Mi número de Gödel no corresponde a un enunciado demostrable” o, dicho más simplemente, el enunciado afirma “Yo no soy demostrable”. Veamos a continuación que este enunciado es verdadero, pero no es demostrable a partir de los axiomas propuestos.

Para probar que “Yo no soy demostrable” es verdadero pero no demostrable supongamos, en primer lugar, que fuera falso. En ese caso, lo que enuncia es incorrecto, por lo que sí sería demostrable. Es decir, sería falso y demostrable a la vez, pero esto es imposible porque los axiomas son enunciados verdaderos.

Entonces “Yo no soy demostrable” es necesariamente verdadero, pero entonces lo que enuncia es verdad y, por lo tanto, es verdadero y no demostrable.

Notemos que esto implica, tal como queríamos probar, que la condición c) falla. En efecto, el enunciado aritmético que expresa que “Yo no soy demostrable” no es demostrable, pero tampoco lo es su negación, ya que esta negación es un enunciado falso, y si los axiomas son enunciados verdaderos entonces ningún enunciado falso puede ser demostrable. Hemos probado así que, contradiciendo lo que pide condición c), existe siempre un enunciado P tal que ni él, ni su negación, son demostrables. De este modo, termina nuestra exposición de las ideas centrales de la demostración del primer teorema de Gödel.

4. Conclusión

El programa de Hilbert proponía que se diera un conjunto de axiomas aritméticos que cumpliera las condiciones a), b), c) y d) enunciadas más arriba. La condición a) puede parafrasearse diciendo que el sistema no debe permitir que se demuestren enunciados falsos, en otras palabras, los axiomas nunca deben conducir a una paradoja; la condición d) pide, además, que la validez de la condición a) sea verificable de un modo claro y objetivo. La condición b), por su parte, pide que también exista un método claro, objetivo y concreto para verificar la validez de los razonamientos matemáticos. La condición c), finalmente, pide esencialmente que todas las verdades aritméticas sean demostrables.

Los teoremas de Gödel prueban que estas cuatro condiciones no pueden cumplirse simultáneamente. En particular, el primer teorema demuestra que si sólo admitimos razonamientos cuya validez sea verificable objetivamente entonces siempre habrá verdades matemáticas que no podamos demostrar. En otras palabras, tenemos que elegir entre la certeza absoluta de que no cometeremos errores y la certeza absoluta de que podremos resolver todos los problemas matemáticos. Tenemos que elegir, dice Gödel, entre una de esas dos certezas porque nunca podemos tener ambas al mismo tiempo.