El ABC de la creación (3): imposibilidades

Pares y nones
Las reglas del juego y los primeros desafíos pueden verse en este enlace, otros desafíos pueden verse en este otro enlace.

De los dos últimos desafíos planteados en la entrada original, uno de ellos pedía pasar de la cinta vacía a una que contuviera solamente la letra A, y el otro desafío, pasar de la letra A a la letra B. En los comentarios a esa misma entrada Marcos Donnantuoni conjeturó que estos objetivos son imposibles de alcanzar; mi intención aquí es demostrar que, en efecto, son imposibles.

La demostración de ambas imposibilidades pasa por un argumento de paridad. Recordemos que la primera regla dice que donde haya dos casillas vacías es posible "crear" dos letras iguales; la segunda regla enuncia la operación inversa, dos letras iguales y consecutivas pueden ser borradas. La tercera regla dice que dos letras diferentes consecutivas (AB, por ejemplo) pueden ser cambiadas por la letra restante (en el ejemplo, una C).

Pensemos ahora en las cantidades de letras que haya en la configuración inicial, y específicamente fijémonos en sus paridades. Las dos primeras reglas no alteran la paridad de esas cantidades, ya le suman o le restan un 2 a una de ellas. La tercera regla, en cambio, cambia las tres paridades a la vez, ya que le suma un 1 a una cantidad y le resta 1 a las otras dos. Es decir, al aplicar cualquiera de las reglas, o bien las tres paridades no cambian, o bien cambian todas a la vez.

Esto significa que, si al comenzar, las cantidades de dos de las letras tenían la misma paridad (ambas cantidades eran pares o ambas eran impares) entonces a lo largo de todo el proceso esas cantidades seguirán teniendo la misma paridad (porque, en caso de cambiar, ambas paridades cambiarán al mismo tiempo); y si esas dos cantidades, al comenzar, tenían diferente paridad entonces la paridad seguirá siendo siempre diferente (por la misma razón). Podemos decir, en resumen, que las paridades relativas de las cantidades de letras no cambiarán nunca.

Ahora bien, si quisiéramos pasar de la cinta vacía a la letra A entonces al comenzar las cantidades de A y de B tendrían la misma paridad (ambas cantidades serían pares, ya que valen cero), mientras que al terminar habría una cantidad impar de A (una letra) y una cantidad par de B (cero). La paridad relativa de A y B habría cambiado, lo cual es imposible. Luego, no puede pasarse de la cinta vacía a una sola A. Lo mismo sucede si queremos pasar de A a B, porque al comenzar A y C tendrían diferente paridad (uno y cero son las cantidades iniciales de esas letras), pero al terminar tendrían la misma (cero y cero, ambas pares).

Una pregunta que queda pendiente es si vale la afirmación recíproca; es decir, si tenemos dos configuraciones de letras en las cuales las paridades relativas de A, B y C son las mismas (es decir, dos paridades que sean iguales/diferentes en una configuración son también iguales/diferentes en la otra configuración) entonces ¿es siempre posible pasar de una configuración a la otra? Creo que la respuesta es que sí, aunque no he podido encontrar una demostración elegante de ese hecho.

Una respuesta a la falacia del jugador

Imaginemos que en la ruleta sólo hubiera 36 números, 18 rojos y 18 negros (todos sabemos que en las ruletas reales existe además el 0, número que en este juego no tiene color, pero aquí lo omitiremos sin que eso afecte en lo esencial la idea que queremos exponer). Supondremos además que la ruleta es "perfecta", en el sentido de que todos los números tienen la misma probabilidad de salir.

"Rojo" y "negro" tienen, entonces, la misma probabilidad y, como consecuencia, en cualquier sucesión "muy larga" de bolas la cantidad de rojas y negras tenderá a igualarse; en otras palabras, la proporción en que aparece cada color tenderá, a la larga, a ser del 50%. Se llama falacia del jugador a la creencia (errónea) de que este hecho implica que las cantidades de rojos y de negros deben tender a compensarse mutuamente. Más exactamente, si salieron, por ejemplo, 6 rojos consecutivos, la falacia consiste en creer que en el tiro siguiente, para compensar los 6 rojos que salieron, "negro" debe ser más probable que "rojo", y que a medida que salgan más y más rojos, la probabilidad de negro será cada vez mayor. (El tema se relaciona con el contenido de esta entrada; obviamente Wikipedia tiene una entrada sobre esta cuestión.)

La explicación que se da usualmente para demostrar que esta creencia es, en efecto, errónea, consiste en apelar a la "independencia" de los tiros de la ruleta. Suele decirse en este sentido que "la ruleta no tiene memoria" y que cada tiro puede pensarse como como si fuera el primero dado que en cada instante la historia previa (la secuencia previa de tiros) es totalmente irrelevante.

Quiero dar aquí un argumento diferente para explicar por qué la falacia del jugador es, efectivamente, una falacia, un argumento que podríamos llamar tal vez "filosófico". Más precisamente, mi idea es dar una demostración por el absurdo del hecho de que la falacia del jugador afirma algo que es falso.

Supongamos entonces que lo que dice la falacia del jugador sea cierto y que cuanto más larga sea una racha de rojos o de negros, mayor es la probabilidad de que la bola siguiente sea del color opuesto. A partir de este supuesto debemos llegar a una contradicción.

Digamos por ejemplo que, contando desde el comienzo de la noche del lunes, en la mesa 10 del casino X las bolas número 15º, 16º, 17º, 18º y 19º (me refiero al orden en que fueron lanzadas en la mesa desde su apertura, no a los números que salieron) han sido todas rojas.

Según nuestra hipótesis, esta racha hace que, en lo que hace a la bola 20º, la probabilidad de negro aumente a más del 50%. Pero la suposición se refiere en realidad a todas las rachas que convergen en esa bola 20º, y resulta que en esa bola convergen en verdad una cantidad enorme de rachas, por ejemplo, la racha de todas las bolas 20º de todas las mesas de ese casino en esa misma noche (contadas las mesas en todos los órdenes posibles), la racha de todas las bolas 20º de todas las noches anteriores en esa misma mesa en ese mismo casino, la racha de todas las bolas pares (2º, 4º, 6º, etc.) de esa misma noche, así como de todas las bolas pares de las noches anteriores, la racha de todas las bolas 20º de todos los lunes de todas las mesas de todos los casinos del mundo (contados los casinos en todos los órdenes posibles), y así siguiendo interminablemente. La secuencia formada por las bolas 15º, 16º, 17º, 18º y 19º de esa noche en esa mesa es sólo la más visible e inmediata de todas las rachas que convergen en la bola 20º, pero todas las demás rachas también deben ser tomadas en cuenta.

Ahora bien, de todas esas otras rachas (potencialmente infinitas), muchas de ellas estarán formadas sólo por números rojos, como es el caso de las bolas 15º, 16º, 17º, 18º y 19º, pero muchas otras estarán formadas sólo por negras, y otras más estará formadas por diferentes combinaciones de colores.

Pero para cada racha de n rojas que converge en nuestra bola 20º, hay una racha de n negras que converge exactamente a esa misma bola. Un grupo de rachas hace que en la bola 20º el negro tenga una probabilidad mayor al 50%, pero el otro grupo hace que sea rojo el que tenga una probabilidad de más del 50%, esto es un absurdo porque la probabilidad total superaría el 100%. En otros términos, si suponemos que una racha de un color hace que se favorezca al color contrario, la conclusión es que, de todos modos, las diferentes rachas se "compensan" y se llega a la conclusión de que cada color tiene siempre una probabilidad del 50%.

(Véase en este enlace un comentario que sirve de complemento a la entrada.)

ESTUDIAN CORALES DE AGUA FRÍA BAJO EL MAR PATAGÓNICO DE CHILE

Con apoyo de National Geographic, la investigadora Rhian Waller estuvo un mes en el fiordo Comau, en Chile, estudiando una de las especies únicas y milenarias del planeta. El fiordo Comau, en la Región de Los Lagos, es un lugar único en el mundo. En sus frías aguas, que llegan a los 8 °C, habita un tipo de coral poco estudiado y que se encuentra entre las especies más antiguas del planeta. Pueden vivir cientos o miles de años. Un fiordo es una angosta entrada de mar formada por la inundación de un valle excavado o parcialmente tallado por acción de glaciares. “Hay enormes plataformas de corales de agua fría en la Patagonia, muchas más que en cualquier otra parte del planeta. Esta área es verdaderamente única en el mundo”, dice Rhian Waller, doctora en Ciencias del Mar de la U. de Maine, en EE.UU. Waller, quien ha participado en más de 40 cruceros científicos internacionales, publicado más de 30 estudios científicos y dedicado casi una década a investigar los corales del mundo, acaba de pasar un mes estudiando los corales en la Patagonia chilena, en una expedición financiada por National Geographic y apoyada por la Fundación Huinay. La investigadora se ha centrado en la búsqueda del coral de piedra (desmophyllum dianthus), una especie que si bien no es exclusiva de Chile, sólo en los fiordos Comau y Reñihue es posible encontrarlos en abundancia y a nivel superficial. “Este coral es usualmente una especie de aguas profundas, a más de 1.000 metros de profundidad. Pero los fiordos chilenos son únicos, aquí puedes hallar esta especie a nivel superficial, a sólo 20 metros, por lo que puedo bucear para estudiarlos”, comenta la investigadora. IMG_3600-600x450 El coral de piedra es una especie solitaria, que no construye arrecifes y que -como el resto de los corales de agua fría- depende de la captura de plancton para alimentarse. Eso los diferencia de los corales tropicales, que tienen un alga fotosintética al interior de sus tejidos, “por lo que necesitan luz solar y condiciones cálidas para sobrevivir”. Sin esta alga los corales pueden vivir casi en cualquier lugar: en el océano profundo (bajo 6.000m), en regiones polares y en fiordos de aguas frías. Los corales forman hábitat al fondo del océano, creando hogares para muchos otros animales, donde pueden descansar, comer y reproducirse. Además, son parte importante del ciclo de vida de especies comerciales de peces y cangrejos. “Son una parte irreemplazable del ecosistema”. “Estos corales de agua fría ya viven al extremo y en condiciones más ácidas que los corales regulares, entonces cualquier cambio a través del calentamiento o acidificación podría llevarlos al extremo de lo que ellos son capaces de resistir”, indica la experta. Por eso, el fin de su expedición es observar la reproducción y desarrollo del coral -que está clasificado como “casi amenazado”- para saber cómo enfrentar su recuperación si sufre más daños por el cambio climático u otras razones antropogénicas (como la extracción para artesanías). De hecho, su próximo paso es saber cómo las larvas de corales de agua fría son afectadas por el cambio climático, lo que entregará información vital sobre el futuro de esta frágil especie.

Fuente | www.latercera.com

Ártico, las temperaturas más altas en 44.000 años

El primer estudio de su tipo demuestra que el Polo Norte alcanzó su máxima temperatura en miles de años. Muchos estudios han demostrado el aumento de temperatura en el Ártico y el subsecuente derretimiento de las capas de hielo, pero ¿cómo se compara con el pasado y qué tan grave es? Una nueva investigación muestra que, el último siglo, las temperaturas medias de verano en el Ártico canadiense son las más altas de los últimos 44.000 años y tal vez desde hace 120.000 años. “La pieza clave es hasta qué punto el calentamiento del Ártico canadiense no tiene precedentes”, dijo Gifford Miller, investigador de la Universidad de Colorado, en una declaración en la revista Geophysical Researcher Letters, en el cual el estudio de Miller y sus colegas se publicó en línea recientemente. “Lo que este estudio dice realmente, es que el calentamiento que estamos viendo está al margen de cualquier tipo de variabilidad natural conocida y se debe al aumento de gases de efecto invernadero en la atmósfera”, señaló. El estudio es el primero en demostrar que la corriente de calor ártico supera las temperaturas máximas del principio de la era del Holoceno, nombre que recibe el período geológico actual que comenzó hace unos 11.700 años. Durante este “pico” de la calidez ártica, la radiación solar era un nueve por ciento mayor que en la actualidad, afirma el estudio. Miller y sus colegas calibraron las temperaturas del Ártico y observaron burbujas de gas atrapadas en los núcleos de hielo (cilindros perforados en el hielo que muestran cómo las capas de nieve se establecieron en el tiempo) tomados de la región. Esto les permitió a los científicos reconstruir la temperatura del pasado y los niveles de las precipitaciones. Los análisis muestran que las plantas han quedado atrapadas en el hielo entre 4.000 y 120.000 años, lo cual da un estimado de por cuánto tiempo las temperaturas en la región no han sido tan altas. El Ártico se calienta por cerca de un siglo, pero el calentamiento más importante no comenzó sino hasta la década de 1970, dijo Miller en un comunicado. “En realidad, es a lo largo de los últimos 20 años que los signos de calentamiento de esa región han sido simplemente impresionantes”, añadió. “Toda la isla de Baffin se está derritiendo y esperamos que la totalidad de los casquetes polares desaparezcan con el tiempo, incluso si no hay calentamiento adicional”.
Fuente | Canal azul 24 www.semana.com

El ABC de la creación (2): soluciones y nuevos desafíos.

Espacio versus tiempo

Las reglas del juego y los primeros desafíos pueden verse en este enlace

Marcos Donnantuoni propone una variante para todos los desfíos que consiste en buscar la solución que ocupe el menos espacio posible, en lugar del menor tiempo. Es decir, ahora buscamos la solución que pueda ser desarrollada en la cinta de menor longitud (a igualdad en espacio, será mejor la solución en menor tiempo).

Éstas son, hasta ahora, las mejores soluciones para los tres primeros desafíos en esta variante.

(a) Pasar de la cinta vacía a ABC y (b) pasar de ABC a BCA: Las soluciones óptimas en tiempo (ambas de Marcos, con 5 pasos) son también hasta ahora las mejores en espacio, con 4 espacios cada una (no parece que se pueda mejorar). Las copio aquí:
0 ----
1 --AA
2 AAAA
3 A--A
4 ABBA
5 ABC-

0 ABC-
1 AA--
2 AAAA
3 A--A
4 ABBA
5 -CBA

(c) A partir de ABC recorrer las otras cinco permutaciones de esas letras: MFR tiene una solución en 25 pasos (óptima en tiempo) que sólo usa 5 espacios (la de Marcos, también de 25 pasos, pblicada en el entrada anterior, si no conté mal -y pude haber contado mal- usa 10 espacios):
00   ABC--
01   C-C--
02   C-CAA
03   C--BA
04   CCCBA
05   --CBA
06   --C-C
07   BBC-C
08   BA--C
09   BACCC
10   BAC--
11   B-B--
12   B-BAA
13   B--CA
14   BBBCA
15   --BCA
16   --B-B
17   AAB-B
18   AC--B
19   ACBBB
20   ACB--
21   -BB--
22   -BBBB
23   -B--B
24   -BAAB
25   --CAB

Dos nuevos desafíos:

El caminante (propuesto por Leonardo): pide hacer "caminar" una letra A n pasos hacia la derecha o hacia la izquierda. MFR pudo hacer "caminar" una A una cantidad par n de casillas, a la izquierda o a la derecha, en exactamente n pasos; por ejemplo para n = 4:

00   A----
01   AAA--
02   --A--
03   --AAA
04   ----A

"Para moverla sólo un lugar", dice MFR, "cuesta un poquito más de trabajo, a mí me salió en 5 pasos (y utilizando dos 'espacios' adicionales en sentido opuesto al que queremos 'avanzar')":
00   --A-
01   BBA-
02   BC--
03   BCAA
04   BB-A
05   ---A

Leonardo, por su parte, tiene una solución para mover A un paso a la derecha en 3 tiempos (y 4 espacios):
00 -A--
01 -ABB
02 --CB
03 --A-

Actualización del 15.11.13: Escribe Leonardo en los comentarios.
Conclusiones sobre traslados de A:
Para cualquier número n de pasos, con n par, la cantidad mínima es n. 
Para cualquier número n de pasos, con n impar, la cantidad mínima es n+2.
Por otra lado, y como consecuencia de esto, dado un número n cualquiera, si se lo escribe de la forma q+w, siendo q y w enteros positivos, entonces la cantidad de pasos necesarios para moverlo n lugares será igual a la de q sumada a la de w.
En otras palabras, si definimos una función P(n) que es la mínima cantidad de pasos necesarios para trasladar una A n lugares, entonces P(n)=P(q+w)=P(q)+P(w) siempre que q+w=n.

Desafío escatológico (propuesto por Marcos): pide pasar de BABA a CACA...
...(1) en la menor cantidad de tiempo
...(2) usando el menor espacio.

Claudio Meller tiene una solución en 7 pasos y 6 espacios, y otra en 8 pasos y 5 espacios.
7 PASOS  SEIS ESPACIOS
0. --BABA
1. CCBABA
2. CA-ABA
3. CA--CA
4. CACCCA
5. CAC--A
6. CACAAA
7. CACA

8 PASOS CINCO ESPACIOS
0. -BABA
1. --CBA
2. CCCBA
3. C--BA
4. CAABA
5. CA-CA
6. CA--B
7. CACCB
8. CACA-

La solución ¿óptima? de Marcos tiene 6 pasos y 5 espacios:
0 BABA-
1 BAC--
2 BACAA
3 B - BAA
4 B--CA
5 BAACA
6 -CACA