Declive de las algas Gelidium en la Costa Vasca, investigadores documentan en un vídeo los drásticos cambios del paisaje submarino


Declive de las algas Gelidium en la Costa Vasca from UPV/EHU on Vimeo.


La subida de la temperatura del agua, el aumento de la radiación solar, la disminución de nutrientes y los grandes temporales, son las principales causas de que en los últimos años se esté produciendo en la costa vasca un considerable descenso en las poblaciones del alga roja Gelidium corneum. Según los datos recogidos por el Grupo de Investigación Bentos Marino de la UPV/EHU, dirigido por José María Gorostiaga, del Departamento de Biología Vegetal y Ecología de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la UPV/EHU, la presencia de esta alga en numerosas localidades del litoral vasco se ha reducido a la mitad y en los casos más extremos ha pasado de un 80% a un 5%.


Para ilustrar los cambios que se están produciendo en la vegetación marina de la costa vasca en las dos últimas décadas, este grupo de investigación ha elaborado un vídeo (7 minutos) en el que se muestra de forma esclarecedora la vulnerabilidad del ecosistema costero ante las recientes alteraciones climáticas.


"Se están dando cambios dramáticos en nuestro paisaje submarino; donde antes había extensas praderas de algas, ahora hay amplios espacios de apariencia desértica. Estamos sufriendo una importante pérdida de productividad que, además de afectar a la biodiversidad marina, tiene consecuencias negativas en el ámbito visual, paisajístico e, incluso, cultural", asegura Gorostiaga.


Alteraciones climáticas


De tamaño grande, color rojizo y que crece en las zonas más batidas por las olas, el alga Gelidium corneum juega un papel esencial en el funcionamiento del ecosistema costero. Actúa como refugio, lugar para la puesta de huevos y hogar de muchos animales y algas. La Gelidium necesita unas condiciones muy particulares para su supervivencia. Sin embargo, según ha constatado el Grupo de Investigación de la UPV/EHU, en las últimas décadas las condiciones climáticas han variado notablemente. El agua ha sufrido un calentamiento en las tres últimas décadas con un incremento promedio en agosto de 1ºC, pasando de 22ºC a 23ºC. Además, se han dado veranos especialmente cálidos con registros de temperatura del agua no alcanzados con anterioridad (un máximo de 26,2ºC en agosto de 2003). La radiación solar ha aumentado, incrementando los niveles de estrés de las algas que adoptan colores amarillos e incluso blancos en vez de su color rojo oscuro natural, y el nivel de nutrientesL de las aguas ha disminuido, debido a los cambios en el afloramiento y a la escasez de aguas procedentes de los ríos. A estas alteraciones hay que añadirles otros factores como el aumento potencial del herbivorismo, tanto de especies locales como de otras de aparición reciente y el incremento de la frecuencia y la intensidad de las tormentas, que tienen un mayor efecto de 'siega' ante el actual debilitamiento de estas algas. Todo ello está haciendo que las rojas praderas de Gelidium que había hace dos décadas hayan desaparecido en muchas zonas de la costa vasca y, donde aún permanecen, se encuentran deterioradas y con síntomas de estrés.


El lugar donde antes había este tipo de algas está siendo ocupado parcialmente por especies del género Corallina, más pequeñas y duras, de naturaleza calcárea y color rosado. Son especies típicas de ambientes bien iluminados y adaptadas a vivir en aguas más cálidas que la Gelidium. El cambio de las condiciones ambientales y la sustitución de las algas dominantes de la vegetación están propiciando la aparición de nuevas especies. La investigación revela que en 1991 la biodiversidad de la costa vasca contaba con un total de 90 especies inventariadas y, en 2013, ese número aumentó considerablemente, hasta llegar a las 116 especies.


"Que haya más especies no tiene por qué ser positivo. Lo que es positivo en un ecosistema es que se mantengan las funciones y los procesos ecológicos. Es decir, que se mantengan la productividad y la biodiversidad, pero no sólo en términos de número de especies, sino también en términos de diversidad genética, funcional… Y, de hecho, las nuevas especies que han entrado a nuestro litoral aportan poca biomasa ya que son pequeñas y de morfología muy simple. Además, son efímeras y tampoco ofrecen la estructura espacial necesaria para dar refugio a numerosas especies de peces e invertebrados", señala Isabel Díez, miembro del Grupo de Investigación.


Mantener la riqueza del ecosistema


Este retroceso de la biomasa del alga Gelidium en la costa vasca no se puede parar, aunque sí aminorar, tomando las medidas necesarias parar frenar el cambio climático. De todas formas, en opinión de José María Gorostiaga, "el daño ya está hecho, porque las últimas estimaciones aseguran que la inercia del cambio climático es imparable, ya que suponiendo que se reduzcan las emisiones como medida correctora, se espera, como mal menor,  que a finales de este siglo la temperatura del aire haya aumentado en 2º ó 2,5º C. Y si no se toman medidas suficientes, el aumento sería de unos 4,5ºC".

Llegados a este punto, los investigadores aseguran que lo importante ahora es mantener las funciones del ecosistema y la diversidad biológica de la costa vasca en su sentido global, independientemente de las especies que permanezcan o que desaparezcan. Para ello, es imprescindible continuar con las investigaciones para conocer los procesos de pérdida y de sustitución de unas especies por otras y cuantificar las pérdidas que eso conlleva en términos de los bienes y servicios ecosistémicos que las macroalgas proporcionan a la sociedad, así como la evaluación de medidas de mitigación y restauración.

Fuente: Las praderas de algas Gelidium de la costa vasca, en grave declive a causa del cambio climático

El calentamiento de los océanos disminuye el tiempo que las tortugas marinas toman el sol


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CREDIT: CHRIS STANKIS


Las tortugas verdes pueden dejar de tomar el sol en las playas de todo el mundo dentro de un siglo debido a la subida de la temperatura del mar, sugiere un reciente estudio.
El tomar el sol en las playas calentadas por el sol ayuda a las tortugas amenazadas a regular su temperatura corporal y puede ayudar a su sistema inmunológico y a la digestión.
Mediante el análisis de seis años de estudios de tortugas y 24 años de datos de satélite, los investigadores de la Universidad de Duke, la Administración Oceánica y Atmosférica Nacional (NOAA), el Centro de Ciencias Pesqueras de las Islas del Pacífico y la Universidad de Ioannina en Grecia han descubierto que las tortugas toman el sol con más frecuencia cada año cuando bajan las temperaturas superficiales del mar.
Si continúan las tendencias de calentamiento global, este comportamiento puede cesar a nivel mundial por 2102, proyecta el estudio. En Hawai, donde se centró principalmente el estudio, las tortugas verdes podrían dejar de tomar el sol mucho antes, por 2.039.
Los científicos publicaron sus resultados revisados la semana pasada en la revista Biology Letters.
"Al comparar los recuentos de peregrinaje de las tortugas con las temperaturas superficiales del mar encontramos que las tortugas verdes no tienden a tomar el sol cuando en el invierno las temperaturas locales superficiales del mar se mantienen por encima de 23 grados centígrados", dijo el investigador principal, Kyle Van Houtan, profesora adjunta de la Escuela de Medio Ambiente Nicholas de Duke.
Para realizar el estudio, Van Houtan y sus colegas utilizaron seis años de datos de recuento de tortugas recogidos diariamente por la asociación hawaiana sin fines de lucro Mālama na Honu en Laniakea Beach, Oahu. Los recuentos mostraron fluctuaciones estacionales regulares en el número de tortugas que toman el sol en la playa. Estas fluctuaciones se correlacionan con la temperatura del mar en Laniakea, lo que indica que las tortugas marinas toman el sol más cuando las aguas son más frías.
Entonces, los científicos compararon estas fluctuaciones en la temperatura y cuando toman el sol a las marcas de crecimiento en el hueso húmero de varias tortugas verdes. Encontraron que las líneas de crecimiento se produjeron en la misma época del año cuando las tortugas más toman el sol, entre febrero y abril.
Las líneas de crecimiento de las tortugas son similares a los anillos de los árboles, que indican los periodos de estrés para el organismo, dijo Van Houtan, que también es un científico en el Programa de Investigación de tortugas de la NOAA. En los árboles, los anillos de crecimiento pueden indicar el invierno, las estaciones secas, o los períodos de sequía. En las tortugas verdes, las líneas parecen reflejar los períodos en que los mares son más fríos y las temperaturas corporales son como consecuencia menores, lo que lleva a las tortugas a arrastrarse en las playas para calentarse al sol.
Se necesita más investigación para entender completamente la importancia que tendrá el cambio climático sobre el efecto de disfrutar del comportamiento de peregrinaje de las poblaciones de tortugas verdes de todo el mundo, dijo Van Houtan.
No todas las tortugas verdes toman el sol en la tierra, señaló. Aunque las tortugas se encuentran en los océanos tropicales y subtropicales de todo el mundo, las que toman el sol en la playa sólo se ha observado en Hawái, las Islas Galápagos y Australia. Se ha observado que las temperaturas superficiales del mar en estos sitios se están calentando en tres veces la tasa promedio mundial.
Aún no está claro si las poblaciones que actualmente toman el sol en la tierra durante los meses más fríos se adaptarán al calentamiento de la temperatura del mar y comenzarán a disfrutarlo en exclusiva en el agua, al igual que algunas otras poblaciones de todo el mundo.
"Al mirar el cambio climático que es este vasto tema geopolítico, hay que profundizar para las variables climáticas específicas que afectan a aspectos específicos de la vida de un organismo", dijo Van Houtan. "El siguiente paso para nosotros es ver cómo las tortugas hacen el almacenamiento de datos climáticos en sus cuerpos, en sus tejidos, conchas y huesos, y cómo pueden burlarse de eso".
La investigación fue financiada por la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica y por un Early Career Award Presidencial en Ciencias e Ingeniería.

John M. Halley de la Universidad de Ioannina, y Wendy Marcas del Programa de Investigación de Tortugas Marinas de NOAA fueron co-autores del estudio.
Fuente :Warming Seas Decrease Sea Turtle Basking
Artículo científico:Terrestrial basking sea turtles are responding to spatio-temporal sea surface temperature patterns

El hielo ártico permanente está desapareciendo



Animation by NOAA Climate.gov team, based on research data provided by Mark Tschudi, CCAR, University of Colorado
La desaparición de la masa de hielo ártica se puede observar claramente en la siguiente animación. 

Cada invierno, el hielo marino se expande para llenar prácticamente la totalidad de la cuenca del Océano Ártico, llegando a su máxima extensión en marzo. Cada verano, el hielo se contrae, alcanzando su menor extensión en septiembre. El hielo que sobrevive al menos una temporada de deshielo de verano tiende a ser más grueso y tiene más probabilidades de sobrevivir los veranos futuros. Desde la década de 1980, la cantidad de este hielo perenne (a veces llamado de varios años) ha disminuido, según un estudio publicado por la NOAA.

  La animación de la NOAA muestra el seguimiento de la cantidad relativa de hielo de diferentes edades, desde 1987 hasta principios de noviembre de 2014. La primera clase de edad en la escala (1, más oscuro azul) significa "hielo de primer año", que se formó en el último invierno. El hielo más antiguo (> 9, blanco) es el hielo de más de nueve años de edad. Las áreas grises oscuras indican aguas abiertas o regiones costeras donde la resolución espacial de los datos es más gruesa que la tierra. 
 Como muestra la animación, el hielo marino del Ártico aún no se sostiene, se mueve continuamente. Al este de Groenlandia, el estrecho de Fram es una rampa de salida para el hielo del Océano Ártico. La pérdida de hielo a través del estrecho de Fram solía ser compensado por el crecimiento del hielo en el Beaufort Gyre, al noreste de Alaska. Allí, el hielo 'perenne' podía persistir durante años, a la deriva girando alrededor de la cuenca. A principios del s.XXI, sin embargo, el Beaufort Gyre se volvió menos 'amigable' para el hielo perenne. Las aguas cada vez más cálidas hacen que sea menos probable que el hielo pueda sobrevivir a su paso por la parte más meridional del giro.
 En 2008, el hielo más antiguo se contrajo en una estrecha franja a lo largo del archipiélago ártico canadiense. 

Condiciones Recientes 

En septiembre de 2012 hubo más deshielo marino del Ártico que en todos los registros anteriores. En 2013 y 2014 la fusión del hielo fue menos grave. El derretimiento menos extremo proporcionó una oportunidad para la formación de un poco más de hielo de primer año que pudo convertirse en hielo perenne. Entre marzo de 2013 y marzo de 2014 el hielo de primer año se redujo de 78 % al 69%, lo que sugiere que una parte sustancial de hielo marino del Ártico sobrevivió a la fusión del verano de 2013; aumentó el hielo de segundo año de hielo del 8 al 14% y el hielo de cuarto año y el más viejo subió del 7,2 a 10,1%. En general, la cantidad de hielo marino perenne en marzo de 2014 subió lo suficiente para aproximarse a la media de 1981-2010. Si bien el hielo permanente aumentó entre 2013 y 2014, la tendencia a largo plazo sigue siendo a la baja, según los autores del estudio. En 1980, el hielo más antiguo (de cuarto año y más viejo) componían el 26% de la masa de hielo; a partir de marzo de 2014, fue solo el 10%. Y como se puede ser en la animación  el hielo más antiguo (de 7-8 años o más) se ha convertido en aún más raro. 
 La edad de hielo del mar se estima mediante el seguimiento de trozos de hielo utilizando imágenes satelitales y boyas a la deriva en el mar.


Fuente:http://www.climate.gov/news-features/videos/old-ice-arctic-vanishingly-rare

Variaciones sobre una cáscara de banana

(Éste es el resumen de mi charla en el 5to. Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

..............
Adenda del 8/11/14: Conjeturo que la suma máxima en el cuadrado de $n\times n$ es aproximadamente igual a $\frac{n^3}{2}$. Predigo en consecuencia que para 8x8 la suma máxima es aproximadamente igual a 256.

Comentario del 4/2/15: Marcos ha encontrado una suma máxima para 8x8 de 258, tal vez mi conjetura no sea tan acertada.

Adenda del 30/1/15: Al final de la entrada he agregado otra solución que me ha hecho llegar Marcos.
..............

En el movimiento cáscara de banana (1) una pieza resbala (hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda) tanto como le sea posible, es decir, hasta que llega al borde del tablero o hasta que choca contra una casilla anulada. En el primer desafío elegimos una casilla inicial cualquiera, colocamos una pieza y marcamos allí un 0 (las casillas donde anotamos números se convierten en anuladas). A continuación, comenzamos a mover la pieza anotando, cada vez, en la casilla de llegada cuál ha sido la distancia recorrida. Por ejemplo:
Así seguimos hasta que la ficha ya no se puede mover. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… hay que lograr:

1) Que al trabarse el movimiento, la suma de los números sea la MENOR posible.
2) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MENOR posible.
3) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MAYOR posible.

Como segundo desafío transformamos este mecanismo en un juego para dos jugadores, digamos Alicia y Bruno. Alicia juega primero y elige una casilla inicial cualquiera (que queda anulada), luego Bruno desplaza la ficha y la casilla final queda igualmente anulada; así siguen hasta que el juego se traba. Quien haya hecho la última jugada, gana. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… la pregunta es: ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora? También podemos preguntarnos qué sucede en la versión de “el último que juega pierde”.

Nota:
(1) No sé si el mecanismo, pero sí su nombre, hasta donde conozco, se debe a Jaime Poniachik. [Según comentó Pablo Milrud en el propio encuentro, el mecanismo "cáscara de banana" -y tal vez también el nombre- serían en realidad creaciones de Iván Skvarca.]

Resumen de las soluciones recibidas hasta ahora (véanse más abajo los detalles):
Para la pregunta 1) la respuesta es 5 independientemente del tamaño del tablero, siempre que sea mayor que 2 (respuesta enviada por Rodolfo Kurchan).

Para las preguntas 2) y 3):
3x3: Mín = 12, Máx = 12. (Rodolfo Kurchan)
4x4: Mín = 23, Máx = 30. (Rodolfo Kurchan)
5x5: Mín = 41, Máx = 61. (Marcos Donnantuoni)
6x6: Mín = 68, Máx = 107. (Marcos Donnantuoni)
7x7: Mín = 99, Máx = 174. (Marcos Donnantuoni)
8x8: Mín = 142. Máx = 258. (Marcos Donnantuoni)

Para el juego de dos, Rodolfo demostró que en tableros de 3x3 y 5x5 gana el primero.

Detalles:
(26/10/14) Pocas horas después del evento, Rodolfo Kurchan envió estas soluciones:
Para la pregunta 1 me parece que para cualquier tablero de lado nxn (salvo 2x2 que es muy chico) se traba con suma 5:

.0.
11.
12.

Ésta es la "punta" de cualquier tablero, va de 0 a 2, al 1 de arriba, al 1 de la izquierda y al 1 de abajo.

Para las preguntas 2 y 3:
3x3 mínimo 12, máximo 12
4x4 mínimo 23, máximo 30

1131        0313
2011        2113
1113        3221 
3211        3113

Para el juego:
Tablero de 3x3 y 5X5 gana el primero

...
.12
453

76...
OX...
891..
453..
..2..

X es la jugada 10 y O es la jugada 11 (si el segundo jugador luego de A5 va para abajo pierde en 7 movidas en lugar de en 11.

(29/10/14) Marcos Donnantuoni envía estas soluciones (aclara que sin garantía de que sean óptimas):
5x5 min
41
← ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↓ → ↑ → ← ↑ ↓ 
2     3     1     1     1     
1     1     2     2     4     
1     0     1     2     1     
4     1     1     2     1     
1     1     4     1     2     

5x5 max
61
↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ← → ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ↑ ← ↓ 
4     1     1     4     3     
2     2     3     1     4     
4     1     1     3     1     
3     1     2     3     0     
4     3     4     2     4     

6x6 min
68
→ ↑ ↓ ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↑ → ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ → ↓ ← ↑ ← ↑ → ↓ ← ↓ 
1     1     1     2     4     3     
5     3     3     1     1     1     
1     3     1     1     2     2     
1     2     1     3     0     1     
5     1     1     1     3     1     
1     1     5     1     1     3   

6x6 max
107
↓ ← → ↑ ← ↓ → ↑ ← → ↓ ↑ → ↓ ← → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ ↓ → ↑ ← → ← ↑ 
4     3     5     2     5     0     
5     1     3     4     4     3     
3     1     2     1     2     1     
5     3     2     1     4     1     
4     2     4     3     3     5     
5     1     1     5     4     5     

7x7 min
102                                                                             
↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ ↑ ↓ → ↓ ← → ↑ ← ↓ ↑ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ← ↑ → ↑ ↓ → ← ↑                                                                      
2       3       6       1       1       6       1                                                                                                                    
1       1       1       2       4       4       1                                                                                                                    
2       2       2       1       2       1       2                                                                                                                    
6       4       1       1       2       1       1                                                                                                                    
2       1       1       4       1       2       3                                                                                                                    
1       1       4       3       0       1       5                                                                                                                    
3       2       1       1       1       1       2   

7x7 max
172                                                                             
← ↓ ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ← ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ ↓                                                                      
6       6       6       1       2       4       0                                                                                                                    
5       3       4       5       3       5       6                                                                                                                    
3       4       1       2       2       2       6                                                                                                                    
6       1       3       1       2       4       2                                                                                                                    
1       5       3       1       1       3       6                                                                                                                    
5       2       1       4       3       4       3                                                                                                                    

6       5       2       6       5       6       5  



(30/1/ 15) 8x8 max
250
→ ↑ ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ ↑ → ↓ ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← → ↓ → ↑ ← → ← → ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ← 

7x7 min
99
1 6 1 1 2 6 1
1 4 4 1 2 4 1
1 3 1 1 1 2 6
2 1 1 3 1 1 3
4 2 2 0 2 3 1
3 1 1 1 1 1 2
1 1 2 2 2 1 4
↓↑←↓→←↑←↓→↓←↑←↓↑→↓←→↑→↓←↑→←↓→↓↑←↓→↑↓↑↓←↑↓←↓↑→↑→↑


7x7 max
174
0 4 2 6 4 6 6
4 5 5 4 2 4 5
6 4 2 2 3 1 2
1 5 1 1 2 1 6
3 4 1 3 3 3 6
6 2 3 5 2 4 4
6 6 6 1 1 5 6
→↓←→↑←↓↑→↓←↑↓→↑←↓→←↓→↑↓←→↑←↓↑→↓→↑←→←↓→↓←↑↓↑↓↑↓←↓


8x8 min
142
1 1 2 3 2 1 3 4
3 1 1 1 1 4 1 1
5 3 2 2 1 1 1 3
3 1 1 0 3 1 2 3
1 2 1 3 2 2 3 7
2 6 1 3 1 1 4 1
1 5 2 1 1 2 2 1
1 7 4 1 2 7 1 2
↑↓↑←↑→←↓←↑→↑←↓←↑↓↑→↑↓←→↑←→↓→←↑↓→↑←↑↓↑→↓→←↑←↓↑→←↓→←↑↓→↑←↓→↑←↓←↓↑


8x8 max
257
0 1 5 7 2 4 7 7
7 5 2 5 6 6 5 6
5 5 1 3 2 4 3 7
3 5 3 1 1 4 1 7
1 6 3 2 1 1 4 7
7 1 3 4 2 3 5 2
7 4 2 6 4 5 6 4
6 3 1 1 7 7 5 7
→↓↑←↓↑→↓←↑→↓←↑→←↓→↑↓↑←↑→↓↑↓←↑→↑←→↓←↑→↓↑←↓→↑←→←↑→↓←↓→↑↓↑↓↑↓↑→↓↑→

8x8 max
258

7       6       5       7       2       4       6       7
6       4       2       5       6       6       6       5
5       2       5       3       1       2       4       6
2       5       2       1       3       4       1       7
7       1       3       1       1       2       6       1
7       4       4       4       1       1       5       4
4       5       3       6       4       3       2       7
6       0       1       1       7       7       7       6

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Axiomas de Peano y consecuencias (5) con algunos comentarios sobre el teorema de Gödel

(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí.)
A la parte 4 - A la parte 6

Nota: desde que publiqué por primera este entrada he ido modificando ligeramente su contenido buscando que converja a lo que quiero expresar.

Desde hace algún tiempo venimos mostrando algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano. En las entradas previas hemos demostrado, por ejemplo, que la suma de números naturales es asociativa y conmutativa, y que el 0 es su neutro. También probamos que el producto es asociativo y conmutativo, y que el 1 (definido como S(0)) es su neutro. Veremos ahora algunos teoremas más, que tendrán esta vez, además, cierta relación con el teorema de Gödel. Para comenzar, recordemos dos de los axiomas de Peano:

Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.

Veamos ahora un nuevo teorema:

Teorema 13: Si $n\neq 0$ entonces existe m tal que S(m) = n.
Demostración:
El enunciado que queremos demostrar equivale a $\forall n (n=0 \vee \exists m(S(m)=n))$, y este último enunciado se prueba fácilmente por inducción. En efecto, para n = 0 vale, y supuesto que vale para n entonces es claro que también vale para S(n) ya que si n = S(m) entonces S(n) = SS(m).

Teorema 13 bis: Si $n\neq 0$ entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesivamente una cantidad finita de veces.
Demostración:
Por inducción. Para n = 0 vale (el antecedente de la implicación es falso). Supuesto que vale para n es inmediato que vale para S(n) ya que si n = SS...S(0) entonces S(n) = SSS...S(0) (una S más).

Teorema 13 ter: Si una afirmación vale para 0, S(0), SS(0), SSS(0), SSSS(0),... entonces la afirmación vale para todo n.
Demostración:
Sea n cualquiera, entonces, por el teorema anterior, o bien n = 0, o bien n = SS...S(0), en cualquiera de los dos casos, por hipótesis, la afirmación vale para n.

¿Cree usted que los tres teoremas son válidos?

Sucede que el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones que impone la lógica de primer orden, mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en la lógica de segundo orden). ¿Es importante esta distinción? En parte sí, porque el teorema de Gödel sólo vale en teorías basadas en la lógica de primer orden. De hecho, si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gödel pasa a ser directamente falso (o, si se quiere, es falso si se acepta en la matemática ese tipo de razonamiento). Por así decirlo, la validez del teorema de Gödel termina en la delgada línea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. Vuelvo a preguntar: ¿cree usted que los tres teoremas son válidos?

Una primera conclusión es (o debería ser) que el teorema de Gödel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera, y que refutan cualquier análisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades técnicas.

Por otra pare, yo sí creo que los tres teoremas son válidos, por lo que esta situación me convence (al menos a mí) de que la lógica que usan naturalmente los matemáticos no es (a diferencia de los que los lógicos suelen sostener) la lógica de primer orden, sino la lógica de segundo orden. La "verdadera lógica", digo yo, es la de segundo orden, la otra es una lógica muy apta para ser estudiada, pero no es la que usamos realmente para razonar.

¿Es falso entonces el teorema de Gödel? No, el teorema de Gódel sigue siendo válido en la teorías basadas en la lógica de primer orden, es decir, tiene una aplicación específica que, según yo lo veo, no alcanza a toda la matemática en su conjunto.

¿Verdadero o falso?


"Si un número entero es negativo entonces ese número es positivo."

"Si 3 es negativo entonces 3 es positivo."