La solución es la siguiente: El coordinador se coloca en un extremo de la habitación e indica que 50 personas se coloquen a su derecha y las otras 50 a su izquierda. Luego ordena que se emparejen, cada persona de la derecha con una persona de la izquierda.
La siguiente indicación del coordinador es que cada uno mire el sombrero de su pareja y que al sonar el gong hagan lo siguiente:
a) El miembro de la pareja que estaba inicialmente a la derecha debe decir en voz alta el color que esté viendo (por ejemplo, si su pareja tiene un sombrero blanco entonces dirá "blanco").
b) El miembro de la pareja que estaba inicialmente a la izquierda debe decir en voz alta el color opuesto al que esté viendo (por ejemplo, si su pareja tiene un sombrero blanco entonces dirá "negro").
Comprobemos que este mecanismo asegura que 50 personas dirán su propio color de sombrero. Hay cuatro casos a considerar: que los dos tengan sombreros blancos, que los dos tengan sombreros negros, que el de la derecha tenga blanco y el otro negro, y el opuesto de este último caso.
Si los dos tienen sombreros blancos, al sonar el gong el miembro de la derecha dirá "blanco", su propio color de sombrero. (El otro miembro de la pareja dirá "negro" y fallará.)
Si los dos tienen sombreros negros, al sonar el gong el miembro de la derecha dirá su color de sombrero y el otro miembro fallará.
Es fácil ver que si los colores de sombrero son diferentes entonces el miembro de la izquierda dirá su propio color y el de la derecha se equivocará.
En resumen: al sonar el gong, exactamente un miembro de cada pareja dirá su propio color de sombrero, por lo tanto un total de exactamente 50 personas acertará. Todo esto sin que el coordinador necesite ver un solo sombrero.
Hasta aquí el problema planteado por Adrián Paenza. Demos ahora una vuelta de tuerca.
Supongamos que haya un segundo gong. Una sola indicación adicional puede lograr que al sonar este segundo gong las 100 personas digan correctamente su propio color de sombrero. La indicación sería:
c) Observe qué dijo su compañero al sonar el primer gong. Si su compañero acertó al decir su propio color de sombrero entonces, al sonar el segundo gong, usted cambie lo que dijo la primera vez (por ejemplo, si la primera vez usted dijo "blanco", al sonar el segundo gong dirá "negro"). Si su compañero falló al decir su propio color, entonces, al sonar el segundo gong usted repetirá lo que dijo la primera vez.
De esta forma, con tres simples indicaciones, se logra que, al sonar el segundo gong, las 100 personas digan correctamente su propio color de sombrero.
