1. Tres conjeturas
Rodolfo Kurchan me ha hecho llegar por línea privada la siguiente conjetura:
Conjetura de Kurchan: Fijado un par de números n y m, en todas las caminatas marcianas que recorran completamente el rectángulo de n x m la suma de los números obtenidos será la misma. (No se obtendrán necesariamente los mismos números, pero sí será la misma la suma de todos ellos).
Por ejemplo, todas las caminatas marcianas que recorren el cuadrado de 3 x 3 suman 20.
Podemos extender la conjetura de la siguiente manera:
Conjetura ampliada: Fijada una región R del cuadriculado que pueda ser recorrida completamente por una caminata marciana, en todas las caminatas marcianas que recorran completamente R la suma de los números obtenidos será la misma.
La conjetura ampliada puede extenderse más todavía. Tomemos, por ejemplo, un grafo que admita un camino hamiltoniano (es decir, un camino que visite todos los nodos del grafo exactamente una vez cada uno, entendiendo que no vuelve al nodo inicial). A cada nodo del grafo le asignamos un número siguiendo el orden en que fue visitado y según la regla de la caminata marciana: cuando el camino pasa por un nodo, éste recibe el número que indica la cantidad de números que están conectados con él en ese momento. Un ejemplo:
Hay una demostración bastante simple (una vez que a uno se le ocurre) de la conjetura para grafos. Esta conjetura, como es evidente, tiene a las otras dos como casos particulares. Dejo, para quienes les interesen esas cosas, el desafío de encontrar la demostración. Una pista: la suma que se obtiene es la cantidad de lados del grafo. De este modo las tres conjeturas pasan a ser "teoremas", pero seguiré llamándolas "conjeturas" de todos modos.
2. El Triángulo de Kurchan
La conjetura de Kurchan nos habilita para construir el siguiente cuadro:
En la posición (n,m) del cuadro ponemos la suma de una caminata marciana que recorra completamente el rectángulo de n x m. (Por supuesto, el cuadro sigue infinitamente hacia la derecha y hacia abajo, aquí sólo hemos mostrado un fragmento.) Rodolfo prefiere girar el cuadro 45° y disponer los números en un triángulo al que (en analogía con el Triángulo de Pascal) llamaremos el Triángulo de Kurchan:
Rodolfo ha investigando el triángulo y encontró en él algunas propiedades curiosas. He aquí una lista:
1. La primera diagonal se obtiene sumando 1 cada vez, la segunda se obtiene sumando 5, la siguiente sumando 9, la siguiente sumando 13, etc.
2. En la segunda columna del triángulo aparece la sucesión 1, 11, 29, 55, 89,... que es http://oeis.org/search?q=1%2C11%2C29%2C55%2C89&sort=&language=english
3. La suma de los cuatro vecinos a cada "agujero" de la columna central (por ejemplo: 0 + 1 + 1 + 6 = 8; 6 + 11 + 11 + 20 = 48;...) forman la sucesión 8, 48, 120, 224,... que corresponde a los óctuples de los números hexagonales. Véase también: http://oeis.org/search?q=8%2C48%2C120%2C224%2C360%2C528&sort=&language=english
4. La diagonal a "salto de caballo" 0, 11, 38, 81,... es http://oeis.org/search?q=0%2C11%2C38%2C81&sort=&language=english
5. La suma de lo números en cada fila da 0, 2, 10, 28, 60, 110, 182,... que es el doble de la suma de los n primeros cuadrados consecutivos. Véase: http://oeis.org/search?q=2%2C10%2C28%2C60%2C110%2C182%2C280&sort=&language
6. Elijamos un número cualquiera del triángulo, pero que no esté en el borde. Tomemos sus dos vecinos de la izquierda y de la derecha, el número que está justo arriba del elegido y el que está justo abajo. La suma de esos cuatro números será el cuádruple del número elegido. Por ejemplo, si elegimos el 11 tenemos que 3 + 11 + 1 + 29 = 44 = 4 x 11.
7. Si sumamos cada número de la columna central con su vecino de abajo a la izquierda obtenemos: 0 + 1 = 1; 6 + 11 = 17; 20 + 29 = 49;... que es la sucesión de los números hexadecagonales centrados. Véase: http://oeis.org/search?q=1%2C17%2C49%2C97&sort=&language=english
Por supuesto, están todos invitados a encontrar otras propiedades u otros datos curiosos del Triángulo de Kurchan.
