Axiomas de Peano y consecuencias (1)

(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí.)
A la parte 2.

La intención de esta serie de entradas es simplemente explorar cómo, a partir de los Axiomas de Peano, pueden probarse las propiedades básicas de los números naturales.

Los axiomas de Peano
Estos axiomas se refieren a ciertos objetos a los que llamaremos números naturales y tienen como elementos primitivos al número 0, que es un número natural, a la función sucesor, que indicamos con la letra S, y a las operaciones de suma y producto. Los axiomas son:

Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural.
Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.
Axioma 3: n + 0 = n.
Axioma 4: n + S(m) = S(n + m).
Axioma 5: n.0 = 0.
Axioma 6: n.S(m) = n.m + n.
Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) $\Rightarrow $ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n.

Teoremas:
Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano.

Teorema 1: 0 + n = n.
Demostración:   
Aplicamos el esquema de inducción.
Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3.
Tenemos que probar que "0 + n = n $\Rightarrow $ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así:
Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n).

Teorema 2: n + S(m) = m + S(n).
Demostración:
Hacemos inducción en m.
Para m = 0 la afirmación vale porque:
n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1.
Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n).
S(m) + S(n) =
= S(m + S(n))     (ax. 4)
= S(n + S(m))     (hipótesis)
= n + S(S(m))     (ax. 4).

Teorema 3: n + m = m + n
(Es decir, la suma es conmutativa).
Demostración:
Fijamos n y hacemos inducción en m.
Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1.
Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así:
n + S(m) =
= S(n + m)     (ax. 4)
= S(m + n)     (hipótesis)
= m + S(n)     (ax. 4)
= S(m) + n     (teo. 2).