A la parte 4 - A la parte 2
Teorema 8: n.(m + k) = n.m + n.k.
(Es decir, vale la propiedad distributiva).
Demostración:
Fijamos n y m, y hacemos inducción en k. Para k = 0 vale por los axiomas 3 y 5.
Tenemos que probar que n.(m + k) = n.m + n.k implica n.(m + S(k)) = n.m + n.S(k). Veámoslo:
n.m + n.S(k) =
= n.m + (n.k + n) (ax. 6)
= (n.m + n.k) + n (teo. 4)
= n.(m + k) + n (hipótesis)
= n.S(m + k) (ax. 6)
= n.(m + S(k)) (ax. 4)
Teorema 9: (n.m).k = n.(m.k).
(Es decir, el producto es asociativo).
Demostración:
Fijamos n y m, y hacemos inducción en k. Para k = 0 vale por el axioma 5.
Tenemos que probar que si (n.m).k = n.(m.k). entonces (n.m).S(k) = n.(m.S(k)).
Veámoslo:
(n.m).S(k) =
= (n.m).k + n.m (ax.6)
= n.(m.k) + n.m (hipótesis)
= n.(m.k + m) (teo. 8)
= n.(m.S(k)) (ax. 6).
