Mi intención en esta entrada es mostrar un resultado parecido al teorema de Banach-Tarski; un resultado que, aunque menos espectacular, es tan paradójico como él. En esta entrada voy a mostrar cómo se puede cortar una circunferencia en una cantidad infinita numerable de partes que, convenientemente reordenadas, permiten armar dos circunferencias iguales a la original (de hecho, podría armarse una cantidad infinita numerable de circunferencias iguales a la original).
Obviamente, el aspecto paradójico del teorema de Banach-Tarski consiste en que nuestra intuición nos dice que si cortamos un cuerpo en una cantidad finita de partes y las reordenamos entonces el volumen total debería conservarse. El aspecto paradójico del resultado que aquí mostraré es similar ya que, quizás no nuestra intuición, pero sí los axiomas de la medida nos dicen que la longitud debería igualmente conservarse si una curva es cortada en una cantidad numerable de partes y estas son reordenadas.
Sea C entonces una circunferencia; vamos a comenzar definiendo en ella una relación de equivalencia. Para ello, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ consideramos el movimiento que consiste en girar todos los puntos de C un ángulo de q.360° en sentido contrario al de las agujas del reloj. A todos los movimientos así definidos los llamaremos giros válidos.
Llamemos V a un sistema de representantes de la relación, es decir, V contiene exactamente un punto de cada una de las clases de equivalencia determinadas por la relación definida más arriba. Una consecuencia de esta definición es que cada punto P de la circunferencia C existe un único punto Q de V tal que se puede llegar de Q a P mediante un giro válido; y ese giro también es único.
A continuación, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ llamamos Vq al conjunto que se obtiene aplicando simultáneamente a todos los puntos de V el giro válido de q.360°. Por ejemplo V1/3 se obtiene girando los puntos de V 120° en sentido antihorario (nótese que V0 = V). De lo dicho más arriba se deduce, por un lado, que C es la unión de todos los Vq y, por el otro, que no hay puntos que pertenezcan simultáneamente a dos Vq diferentes.
Dado que el conjunto de todos los números racionales es numerable, entonces la circunferencia C ha quedado partida en una cantidad igualmente numerable de partes Vq disjuntas dos a dos. Tenemos así definidas, entonces, cuáles son las partes en que la circunferencia es cortada, veamos ahora cómo reordenarlas para completar la duplicación.
Para comenzar con la duplicación, notemos en primer lugar que dos cualesquiera de las partes en que hemos cortado a C pueden obtenerse, una de la otra, mediante un giro válido. Por ejemplo, V1/2 resulta de girar 60° a V1/3. Separamos entonces las partes que hemos definido y, aprovechando el hecho de que los racionales son numerables, las numeramos 1, 2, 3, 4,… (la imagen se sale de marco porque sigue infinitamente hacia la derecha).
No es difícil modificar la idea (véase aquí) de tal modo que se pueda obtener una cantidad infinita numerable de copias de la circunferencia C. Y con mínimas variantes puede aplicarse también para lograr la multiplicación de un círculo al que le falte su centro (para esto último, a cada punto de conjunto V le adjuntamos el radio que lo une con el centro del círculo, aunque sin incluir al centro en sí mismo).
De modo que, si así lo desean, pueden multiplicar hasta el infinito, sin costo de material, toda su colección de discos compactos… aunque, claro, tal vez la música registrada en ellos quede un poco alterada.
Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.
