(Éste es el resumen de mi charla en el 5to. Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)
..............
Adenda del 8/11/14: Conjeturo que la suma máxima en el cuadrado de $n\times n$ es aproximadamente igual a $\frac{n^3}{2}$. Predigo en consecuencia que para 8x8 la suma máxima es aproximadamente igual a 256.
Comentario del 4/2/15: Marcos ha encontrado una suma máxima para 8x8 de 258, tal vez mi conjetura no sea tan acertada.
Adenda del 30/1/15: Al final de la entrada he agregado otra solución que me ha hecho llegar Marcos.
..............
En el movimiento cáscara de banana (1) una pieza resbala (hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda) tanto como le sea posible, es decir, hasta que llega al borde del tablero o hasta que choca contra una casilla anulada. En el primer desafío elegimos una casilla inicial cualquiera, colocamos una pieza y marcamos allí un 0 (las casillas donde anotamos números se convierten en anuladas). A continuación, comenzamos a mover la pieza anotando, cada vez, en la casilla de llegada cuál ha sido la distancia recorrida. Por ejemplo:
Así seguimos hasta que la ficha ya no se puede mover. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… hay que lograr:
1) Que al trabarse el movimiento, la suma de los números sea la MENOR posible.
2) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MENOR posible.
3) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MAYOR posible.
Como segundo desafío transformamos este mecanismo en un juego para dos jugadores, digamos Alicia y Bruno. Alicia juega primero y elige una casilla inicial cualquiera (que queda anulada), luego Bruno desplaza la ficha y la casilla final queda igualmente anulada; así siguen hasta que el juego se traba. Quien haya hecho la última jugada, gana. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… la pregunta es: ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora? También podemos preguntarnos qué sucede en la versión de “el último que juega pierde”.
Nota:
(1) No sé si el mecanismo, pero sí su nombre, hasta donde conozco, se debe a Jaime Poniachik. [Según comentó Pablo Milrud en el propio encuentro, el mecanismo "cáscara de banana" -y tal vez también el nombre- serían en realidad creaciones de Iván Skvarca.]
Resumen de las soluciones recibidas hasta ahora (véanse más abajo los detalles):
Para la pregunta 1) la respuesta es 5 independientemente del tamaño del tablero, siempre que sea mayor que 2 (respuesta enviada por Rodolfo Kurchan).
Para las preguntas 2) y 3):
3x3: Mín = 12, Máx = 12. (Rodolfo Kurchan)
4x4: Mín = 23, Máx = 30. (Rodolfo Kurchan)
5x5: Mín = 41, Máx = 61. (Marcos Donnantuoni)
6x6: Mín = 68, Máx = 107. (Marcos Donnantuoni)
7x7: Mín = 99, Máx = 174. (Marcos Donnantuoni)
8x8: Mín = 142. Máx = 258. (Marcos Donnantuoni)
Para el juego de dos, Rodolfo demostró que en tableros de 3x3 y 5x5 gana el primero.
Detalles:
(26/10/14) Pocas horas después del evento, Rodolfo Kurchan envió estas soluciones:
Para la pregunta 1 me parece que para cualquier tablero de lado nxn (salvo 2x2 que es muy chico) se traba con suma 5:
.0.
11.
12.
Ésta es la "punta" de cualquier tablero, va de 0 a 2, al 1 de arriba, al 1 de la izquierda y al 1 de abajo.
Para las preguntas 2 y 3:
3x3 mínimo 12, máximo 12
4x4 mínimo 23, máximo 30
1131 0313
2011 2113
1113 3221
3211 3113
Para el juego:
Tablero de 3x3 y 5X5 gana el primero
...
.12
453
76...
OX...
891..
453..
..2..
X es la jugada 10 y O es la jugada 11 (si el segundo jugador luego de A5 va para abajo pierde en 7 movidas en lugar de en 11.
(29/10/14) Marcos Donnantuoni envía estas soluciones (aclara que sin garantía de que sean óptimas):
5x5 min
41
← ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↓ → ↑ → ← ↑ ↓
2 3 1 1 1
1 1 2 2 4
1 0 1 2 1
4 1 1 2 1
1 1 4 1 2
5x5 max
61
↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ← → ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ↑ ← ↓
4 1 1 4 3
2 2 3 1 4
4 1 1 3 1
3 1 2 3 0
4 3 4 2 4
6x6 min
68
→ ↑ ↓ ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↑ → ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ → ↓ ← ↑ ← ↑ → ↓ ← ↓
1 1 1 2 4 3
5 3 3 1 1 1
1 3 1 1 2 2
1 2 1 3 0 1
5 1 1 1 3 1
1 1 5 1 1 3
6x6 max
107
↓ ← → ↑ ← ↓ → ↑ ← → ↓ ↑ → ↓ ← → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ ↓ → ↑ ← → ← ↑
4 3 5 2 5 0
5 1 3 4 4 3
3 1 2 1 2 1
5 3 2 1 4 1
4 2 4 3 3 5
5 1 1 5 4 5
7x7 min
102
↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ ↑ ↓ → ↓ ← → ↑ ← ↓ ↑ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ← ↑ → ↑ ↓ → ← ↑
2 3 6 1 1 6 1
1 1 1 2 4 4 1
2 2 2 1 2 1 2
6 4 1 1 2 1 1
2 1 1 4 1 2 3
1 1 4 3 0 1 5
3 2 1 1 1 1 2
7x7 max
172
← ↓ ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ← ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ ↓
6 6 6 1 2 4 0
5 3 4 5 3 5 6
3 4 1 2 2 2 6
6 1 3 1 2 4 2
1 5 3 1 1 3 6
5 2 1 4 3 4 3
6 5 2 6 5 6 5
(30/1/ 15) 8x8 max
250
→ ↑ ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ ↑ → ↓ ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← → ↓ → ↑ ← → ← → ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ←
5 4 4 1 7 6 6 7
4 2 1 6 5 4 6 5
7 5 3 4 2 4 1 2
1 6 2 2 1 2 4 7
3 2 3 1 1 3 5 7
7 5 2 3 3 4 1 4
6 3 1 1 6 5 5 6
0 7 3 7 2 4 7 7
7x7 min
99
1 6 1 1 2 6 1
1 4 4 1 2 4 1
1 3 1 1 1 2 6
2 1 1 3 1 1 3
4 2 2 0 2 3 1
3 1 1 1 1 1 2
1 1 2 2 2 1 4
↓↑←↓→←↑←↓→↓←↑←↓↑→↓←→↑→↓←↑→←↓→↓↑←↓→↑↓↑↓←↑↓←↓↑→↑→↑
7x7 max
174
0 4 2 6 4 6 6
4 5 5 4 2 4 5
6 4 2 2 3 1 2
1 5 1 1 2 1 6
3 4 1 3 3 3 6
6 2 3 5 2 4 4
6 6 6 1 1 5 6
→↓←→↑←↓↑→↓←↑↓→↑←↓→←↓→↑↓←→↑←↓↑→↓→↑←→←↓→↓←↑↓↑↓↑↓←↓
8x8 min
142
1 1 2 3 2 1 3 4
3 1 1 1 1 4 1 1
5 3 2 2 1 1 1 3
3 1 1 0 3 1 2 3
1 2 1 3 2 2 3 7
2 6 1 3 1 1 4 1
1 5 2 1 1 2 2 1
1 7 4 1 2 7 1 2
↑↓↑←↑→←↓←↑→↑←↓←↑↓↑→↑↓←→↑←→↓→←↑↓→↑←↑↓↑→↓→←↑←↓↑→←↓→←↑↓→↑←↓→↑←↓←↓↑
8x8 max
257
0 1 5 7 2 4 7 7
7 5 2 5 6 6 5 6
5 5 1 3 2 4 3 7
3 5 3 1 1 4 1 7
1 6 3 2 1 1 4 7
7 1 3 4 2 3 5 2
7 4 2 6 4 5 6 4
6 3 1 1 7 7 5 7
→↓↑←↓↑→↓←↑→↓←↑→←↓→↑↓↑←↑→↓↑↓←↑→↑←→↓←↑→↓↑←↓→↑←→←↑→↓←↓→↑↓↑↓↑↓↑→↓↑→
8x8 max
258
7 6 5 7 2 4 6 7
6 4 2 5 6 6 6 5
5 2 5 3 1 2 4 6
2 5 2 1 3 4 1 7
7 1 3 1 1 2 6 1
7 4 4 4 1 1 5 4
4 5 3 6 4 3 2 7
6 0 1 1 7 7 7 6
>^<>v^^v<^>v<>v<^>v^<^>v^<>v<>v^v^v^>v>v<^
