La herida abierta del 11-S en Nueva York
Un 56% de los neoyorquinos rechaza la construcción de un centro islámico junto a la 'zona cero' de los atentados - Varios líderes demócratas piden otra ubicación
SANDRO POZZI - Nueva York - 23/08/2010
Las emociones siguen a flor de piel nueve años después del doble ataque terrorista contra las Torres Gemelas de Nueva York, el fatídico 11 de septiembre de 2001. Y el proyecto de construcción de un centro cultural islámico a dos manzanas de la zona cero ha reabierto las heridas. Ayer, en las proximidades del vacío que dejó el atentado que se cobró casi 3.000 vidas, se celebraron dos manifestaciones: una a favor del proyecto y otra en contra.
Estados Unidos
A FONDO
Capital:
Washington.
Gobierno:
República Federal.
Población:
303,824,640 (est. 2008)
Ataque contra EE UU
Los atentados del 11 de septiembre
A FONDO
Ataque contra EE UU
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Ayer se celebraron una manifestación a favor y otra en contra de la obra
Los promotores no aceptan la opción de un lugar "menos emotivo"
El debate ha ganado dimensión nacional tras un polémico discurso de Obama
"No recompensemos a los terroristas", se leía en el cartel de una activista.
Separados por unas decenas de metros y un nutrido cordón policial, los participantes expresaron con respeto sus opiniones. Y algunos con pasión, a pesar de los aguaceros. "No recompensemos a los terroristas", se leía en el cartel que portaba una opositora al proyecto, mientras el bombero retirado Jim Riches decía que si la megamezquita ve al final la luz, para él será "muy doloroso" ir al lugar donde perdió a su hijo, también bombero. "Creo en la libertad religiosa", insistía, "y en el derecho de los dueños del proyecto a construir el centro". Pero introdujo un matiz, que está en el corazón del debate: "Debe ubicarse mucho más lejos". Andy Sullivan, uno de los organizadores de la protesta, pide comprensión. Recuerda que la zona cero "es el cementerio de los que perdimos. Es impactante lo cerca que va a estar".
Los vecinos de la ciudad de los rascacielos, conocidos por ser de los más progresistas entre los estadounidenses, se oponen mayoritariamente al proyecto Córdoba House. No es una cuestión religiosa o política, sino de sensibilidad.
Una reciente encuesta del Siena College Research Institute revela que el 56% de los residentes en la metrópoli se oponen a la idea de que se construya una gran mezquita tan próxima a un lugar que muchos consideran sagrado. Esa proporción se eleva al 61% si tiene en cuenta a todo el Estado de Nueva York. A escala nacional, son el 68%. Es decir, solo un 33% de los neoyorquinos se muestra favorable a la propuesta.
El Córdoba House será un centro muy parecido al que tiene la comunidad judía en la zona alta de Manhattan. Se va a edificar sobre un antiguo lugar de culto musulmán que ya funcionaba antes de los atentados, y que estaba en mal estado. Pero el nuevo proyecto, valorado en 100 millones de dólares (78 millones de euros), será un edificio de 13 plantas y, además de la controvertida mezquita, contará con un auditorio, piscina y salas de reuniones. Su encargado, Sharif El Gamal, no acepta la propuesta del gobernador demócrata, David Paterson, para acomodarlo en otro lugar "menos emotivo".
El Gamal cree que este es un momento decisivo para los musulmanes que viven en Estados Unidos, no solo para los neoyorquinos. Paterson confía en que pueda haber un encuentro en "un futuro cercano" para encontrar una solución. Incluso se habla de ofrecerles fondos públicos si aceptan otra localización. Pero el intercambio de declaraciones se limita a lo que dicen a los medios.
Como indica Don Levy, el director de la encuesta elaborada por Siena, da igual el partido, la región o la edad, "la mayoría de los neoyorquinos desaprueba que la mezquita sea construida en las proximidades de la zona cero". Pero también señala que antes de que la polémica entrara en el debate nacional, "solo algo más de la mitad siguió con detalle el proceso".
El debate cobró dimensión nacional a raíz de un controvertido discurso de Barack Obama, cuya defensa de la legalidad y de la libertad religiosa fue interpretada como un respaldo a la construcción del proyecto en las proximidades de la zona cero. El presidente matizó después sus palabras, pero esta misma semana, una encuesta realizada por el Pew Research Center revelaba que el 18% de los estadounidenses cree que Barack Obama es musulmán, como su padre. Y solo el 34% piensa que es cristiano, algo que la Casa Blanca se ha encargado de recordar en un comunicado, en el que asegura, además, que Obama reza todos los días.
Buceando en la encuesta de Siena, publicada antes de la intervención de Obama, se constata que tan solo dos de cada 10 neoyorquinos coinciden con la idea expresada por los defensores del proyecto, que definen el Córdoba House como un "monumento a la tolerancia". Son más los que creen que es una ofensa a la memoria del 11-S.
La misma división se observa entre los familiares de las víctimas, que ya tuvieron un intenso debate sobre lo que era apropiado construir en la zona cero, donde ahora emerge la estructura de la Torre de la Libertad, el edificio principal del nuevo World Trade Center. Tras escuchar a Obama, la mayoría opina que la libertad religiosa es un principio que debe defenderse. Pero también piden sensibilidad.
Esa posición es compartida por cuatro de cada 10 neoyorquinos encuestados. Y luego está el 38% que considera que las dos partes tienen razón. El problema, como señala Levy, es que cuando se trata de decir sí o no al proyecto, más de la mitad de los habitantes de Nueva York se decanta por el rechazo.
Como señala Michael McMahon, representante demócrata por el condado neoyorquino de Staten Island, el debate de las últimas semanas en torno al proyecto muestra "con claridad la fractura" que sufre tanto la ciudad como el país cuando se trata de cuestiones religiosas. Y por eso cree, en este contexto, que la Córdoba House no tenderá puentes. "Insto a todas las partes a que trabajen con los líderes de la comunidad local para encontrar un lugar apropiado", ha dicho McMahon. Varias voces en las filas demócratas, empezando por la del propio líder en el Senado, Harry Reid, abogan por que la mezquita se erija en otro lugar.
El congresista neoyorquino Peter King, del ala republicana, insiste en que "todos deben dar un paso atrás" y afrontar el debate teniendo en cuenta qué es lo que va "en el interés común". Y eso incluye, dice, a la comunidad musulmana. Una idea que comparte la primera miss estadounidense musulmana, Rima Fakih, que cree que en este debate debe primar más "la tragedia que la religión". El proyecto, sostiene King, es como "echar sal" a esa herida que aún supura.
PLUTONIO
EE UU deja de pagar a España por el accidente nuclear de Palomares
El Gobierno de Obama acaba con más de 40 años de financiación de análisis de salud y ambientales - Madrid intenta que Washington acepte llevarse el plutonio
RAFAEL MÉNDEZ - Madrid - 23/08/2010
Estados Unidos ha dejado de pagar la factura del accidente de Palomares. Este año, por primera vez en más de 40 años, Washington no ha pagado la vigilancia de la contaminación por plutonio ni los análisis de sangre a los 1.500 habitantes de la pedanía de Almería sobre la que en 1966 cayeron cuatro bombas nucleares. Los 403.000 dólares (unos 314.000 euros) que pagaba anualmente EE UU han sido asumidos por España, que ve cómo la Casa Blanca endurece su postura sobre Palomares justo cuando debía acometerse la limpieza definitiva.
La noticia en otros webs
* webs en español
* en otros idiomas
Todavía quedan 20 hectáreas contaminadas en la zona
Se calcula que el coste de la limpieza definitiva puede ser de 25 millones
El Departamento de Energía (DOE, en sus siglas en inglés) explica en su presupuesto de este año que "el programa de Palomares fue un esfuerzo común de EE UU y España para dar supervisión médica a la población expuesta y el control ambiental de la contaminación por plutonio", pero añade que "la obligación financiera del DOE con este programa concluyó en 2009". "El DOE continuará aportando apoyo técnico cuando sea requerido", añade y certifica que esto supone acabar "con más 41 años de cooperación financiera". Así, EE UU no ha renovado los acuerdos que desde 1966 ha firmado sucesivamente con España.
El pasado mayo, cuando el vicepresidente de EE UU, Joe Biden, visitó Madrid el asunto estuvo en la agenda. Los representantes españoles preguntaron a sus homólogos estadounidenses cómo era posible que desde el 7 de septiembre de 2009 EE UU dejara de abonar el dinero.
El tema quedó para una reunión el pasado 8 de julio en Washington. Allí, representantes del CIEMAT, el centro público español encargado de la gestión de la zona contaminada, se entrevistaron con miembros de los departamentos de Estado, Energía y Defensa estadounidenses, que escucharon la reivindicación española y se comprometieron a estudiarla.
El 17 de enero de 1966 dos aviones militares estadounidenses chocaron en el cielo de Palomares durante un repostaje. Se incendiaron y se estrellaron. Uno ellos soltó cuatro bombas nucleares. Dos quedaron intactas. A las otras dos les falló el paracaídas, liberaron carga y marcaron a la localidad para siempre. El 25 de febrero de ese año, los dos países firmaron el primer acuerdo que regulaba la investigación y que contaba con financiación estadounidense. Se llamó el acuerdo Hall-Otero y desde entonces, cada año grupos de habitantes de Palomares viajan al CIEMAT, en Madrid, a someterse a análisis de sangre. El centro no hace públicos los resultados aunque asegura que no ha detectado ningún problema de salud ni mortalidad anormal. La web del Departamento de Energía ofrece mucha más información y documentación sobre el suceso y sus consecuencias que la del Gobierno español.
Que EE UU ya no pague por Palomares no solo es simbólico, sino que anticipa un problema mayor. Desde 2004, el Gobierno emprendió un plan de limpieza de la zona afectada. Lo comenzó un año después de que el Consejo de Seguridad Nuclear alertara de que el movimiento de tierras para construir viviendas podía levantar plutonio y acarrear problemas de salud al facilitar su ingestión. "La introducción de nuevas actividades agrarias o de construcción podrían modificar sustancialmente la situación radiológica actual debido a que estas implican movimientos significativos de tierras", decía ese informe.
En 2007, los dos Gobiernos firmaron el acuerdo que regulaba los análisis y añadieron un anexo sobre los trabajos de limpieza. El CIEMAT (Centro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas), adscrito al Ministerio de Ciencia, ha elaborado un mapa tridimensional con la contaminación de Palomares. Tras realizar miles de muestreos, no solo detectaron que la contaminación de las bombas llegó a un lugar de la sierra hasta ahora desconocido, sino que hallaron incluso las dos zanjas en las que el Ejército de EE UU enterró los materiales que le quedaban antes de partir. Aunque los soldados estadounidenses se llevaron la mayor parte del material, quedan restos de plutonio y americio en unas 20 hectáreas. En el acuerdo, EE UU anuncia su disposición a pagar otros 750.000 dólares (casi 590.000 euros) en 2008 y 850.000 dólares (670.000 euros) en 2009, y ambas partes mostraban su intención de compartir gastos.
Ahora, una vez conocida cuál es la contaminación, España y EE UU debían acordar la limpieza de la zona para zanjar el incidente. El coste de la operación no está detallado, pero puede rondar los 25 millones de euros, según fuentes próximas a la investigación. Se trata de pasar la tierra contaminada por una especie de tamiz y separar los restos contaminados con plutonio o americio.
Lo esencial no es quién paga la operación, sino si EE UU acepta llevarse el plutonio. En las conversaciones entre técnicos no hubo problemas pero ahora la Administración de Barack Obama aparece "muy hermética", según fuentes próximas a la negociación. España no tiene capacidad para albergar plutonio. No tiene un almacén nuclear y los residuos no pueden ir al de residuos de baja y media actividad de El Cabril, en Córdoba. El plutonio tarda 24.000 años en desintegrarse a la mitad. Además, sería difícilmente explicable que España se quede con un problema en el que no tuvo nada que ver.
El Gobierno de Obama acaba con más de 40 años de financiación de análisis de salud y ambientales - Madrid intenta que Washington acepte llevarse el plutonio
RAFAEL MÉNDEZ - Madrid - 23/08/2010
Estados Unidos ha dejado de pagar la factura del accidente de Palomares. Este año, por primera vez en más de 40 años, Washington no ha pagado la vigilancia de la contaminación por plutonio ni los análisis de sangre a los 1.500 habitantes de la pedanía de Almería sobre la que en 1966 cayeron cuatro bombas nucleares. Los 403.000 dólares (unos 314.000 euros) que pagaba anualmente EE UU han sido asumidos por España, que ve cómo la Casa Blanca endurece su postura sobre Palomares justo cuando debía acometerse la limpieza definitiva.
La noticia en otros webs
* webs en español
* en otros idiomas
Todavía quedan 20 hectáreas contaminadas en la zona
Se calcula que el coste de la limpieza definitiva puede ser de 25 millones
El Departamento de Energía (DOE, en sus siglas en inglés) explica en su presupuesto de este año que "el programa de Palomares fue un esfuerzo común de EE UU y España para dar supervisión médica a la población expuesta y el control ambiental de la contaminación por plutonio", pero añade que "la obligación financiera del DOE con este programa concluyó en 2009". "El DOE continuará aportando apoyo técnico cuando sea requerido", añade y certifica que esto supone acabar "con más 41 años de cooperación financiera". Así, EE UU no ha renovado los acuerdos que desde 1966 ha firmado sucesivamente con España.
El pasado mayo, cuando el vicepresidente de EE UU, Joe Biden, visitó Madrid el asunto estuvo en la agenda. Los representantes españoles preguntaron a sus homólogos estadounidenses cómo era posible que desde el 7 de septiembre de 2009 EE UU dejara de abonar el dinero.
El tema quedó para una reunión el pasado 8 de julio en Washington. Allí, representantes del CIEMAT, el centro público español encargado de la gestión de la zona contaminada, se entrevistaron con miembros de los departamentos de Estado, Energía y Defensa estadounidenses, que escucharon la reivindicación española y se comprometieron a estudiarla.
El 17 de enero de 1966 dos aviones militares estadounidenses chocaron en el cielo de Palomares durante un repostaje. Se incendiaron y se estrellaron. Uno ellos soltó cuatro bombas nucleares. Dos quedaron intactas. A las otras dos les falló el paracaídas, liberaron carga y marcaron a la localidad para siempre. El 25 de febrero de ese año, los dos países firmaron el primer acuerdo que regulaba la investigación y que contaba con financiación estadounidense. Se llamó el acuerdo Hall-Otero y desde entonces, cada año grupos de habitantes de Palomares viajan al CIEMAT, en Madrid, a someterse a análisis de sangre. El centro no hace públicos los resultados aunque asegura que no ha detectado ningún problema de salud ni mortalidad anormal. La web del Departamento de Energía ofrece mucha más información y documentación sobre el suceso y sus consecuencias que la del Gobierno español.
Que EE UU ya no pague por Palomares no solo es simbólico, sino que anticipa un problema mayor. Desde 2004, el Gobierno emprendió un plan de limpieza de la zona afectada. Lo comenzó un año después de que el Consejo de Seguridad Nuclear alertara de que el movimiento de tierras para construir viviendas podía levantar plutonio y acarrear problemas de salud al facilitar su ingestión. "La introducción de nuevas actividades agrarias o de construcción podrían modificar sustancialmente la situación radiológica actual debido a que estas implican movimientos significativos de tierras", decía ese informe.
En 2007, los dos Gobiernos firmaron el acuerdo que regulaba los análisis y añadieron un anexo sobre los trabajos de limpieza. El CIEMAT (Centro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas), adscrito al Ministerio de Ciencia, ha elaborado un mapa tridimensional con la contaminación de Palomares. Tras realizar miles de muestreos, no solo detectaron que la contaminación de las bombas llegó a un lugar de la sierra hasta ahora desconocido, sino que hallaron incluso las dos zanjas en las que el Ejército de EE UU enterró los materiales que le quedaban antes de partir. Aunque los soldados estadounidenses se llevaron la mayor parte del material, quedan restos de plutonio y americio en unas 20 hectáreas. En el acuerdo, EE UU anuncia su disposición a pagar otros 750.000 dólares (casi 590.000 euros) en 2008 y 850.000 dólares (670.000 euros) en 2009, y ambas partes mostraban su intención de compartir gastos.
Ahora, una vez conocida cuál es la contaminación, España y EE UU debían acordar la limpieza de la zona para zanjar el incidente. El coste de la operación no está detallado, pero puede rondar los 25 millones de euros, según fuentes próximas a la investigación. Se trata de pasar la tierra contaminada por una especie de tamiz y separar los restos contaminados con plutonio o americio.
Lo esencial no es quién paga la operación, sino si EE UU acepta llevarse el plutonio. En las conversaciones entre técnicos no hubo problemas pero ahora la Administración de Barack Obama aparece "muy hermética", según fuentes próximas a la negociación. España no tiene capacidad para albergar plutonio. No tiene un almacén nuclear y los residuos no pueden ir al de residuos de baja y media actividad de El Cabril, en Córdoba. El plutonio tarda 24.000 años en desintegrarse a la mitad. Además, sería difícilmente explicable que España se quede con un problema en el que no tuvo nada que ver.
El Omegón y todo eso... (Parte 14)
(A la parte 13 – A la parte 15)
Los ordinales, hoy (continuación)
Los ordinales, hoy (continuación)
Queremos recuperar en el contexto de la teoría de Morse-Kelley la construcción de los ordinales de Cantor, y además hacerlo de tal modo que se eviten las paradojas. La idea básica es que, mientras Cantor concebía a los ordinales como números que permitían contar "más allá del infinito", la teoría de Morse-Kelley concibe a los ordinales como conjuntos, y la relación "menor que" de Cantor se reemplaza por la relación "pertenece a". Veamos cómo se hace esto:
Como dijimos en la parte anterior, en la teoría de conjuntos de Morse-Kelley el número 0 se identifica con la clase vacía. Los axiomas de la teoría permiten probar que 0 es, de hecho, un conjunto. Por lo tanto podemos decir que 0 es el conjunto vacío. Además, 0 es el primer ordinal.
El ordinal siguiente al 0 es el 1, que se define como
1 = {0}
Puede probarse que 1 es un conjunto, el conjunto cuyo único elemento es el 0. Por lo tanto 0 pertenece a 1. Observemos también que 0 es un subconjunto de 1.
Los ordinales finitos siguientes 2, 3, 4, 5, 6,... son también todos conjuntos y se definen como:
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Y así para todos los ordinales finitos. Notemos que 1 pertenece a 2 (y también pertenece a 3, 4, 5,...). También 1 = {0} es un subconjunto de 2, 3, 4, 5,...
El ordinal 2 pertenece y es subconjunto de 3, 4, 5, 6,...
El ordinal 3 pertenece y es subconjunto de 4, 5, 6, 7,...
Y así sucesivamente.
Observemos también que:
El sucesor de 0 es $0\cup \{ 0\} $ = {0} = 1.
El sucesor de 1 es $1\cup \{ 1\} $ = $\{ 0\}\cup \{ 1\}$ = {0, 1} = 2.
El sucesor de 2 es $2\cup \{ 2\} $ = $\{ 0,1\}\cup \{ 2\}$ = {0, 1, 2} = 3.
Etc.
El primer ordinal infinito, $\omega $, se define como la clase (puede probarse que, de hecho, es un conjunto) cuyos elementos son todos los ordinales finitos:
$\omega $ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Su sucesor es $\omega +1$ = $\omega \cup \{ \omega \} $ = {0, 1, 2, 3, 4,..., $\omega $}, donde los puntos suspensivos abarcan todos los números naturales desde 5 en adelante. Todos los ordinales finitos son elementos y subconjuntos de $\omega $, que a su vez es elemento y subconjunto de $\omega +1$.
Recordemos que una de las reglas de construcción de ordinales establecida por Cantor nos decía que a continuación de una secuencia creciente de ordinales consecutivos se "hacía aparecer" un nuevo ordinal. En la teoría de conjuntos ese nuevo ordinal es la clase cuyos elementos son todos los ordinales anteriores.
Pero ¿cómo se define el concepto de ordinal? Para comenzar definimos la noción de clase completa.
Definición: una clase x es completa si todo elemento de x es también un subconjunto de x.
Para entender esta definición debemos recordar primero que en esta teoría todos los objetos considerados son clases y que no existe la distinción habitual entre elementos individuales y clases (o conjuntos).
En segundo lugar observemos que si x = {1}, entonces 1 es elemento de x, pero 1 no es subconjunto de x, porque 1 = {0} y 0 no es elemento de x. Por lo tanto {1} no es completo. Todos los ordinales mostrados más arriba, en cambio, sí son completos.
Definición: una ordinal es una clase completa que está bien ordenada por la relación de pertenencia.
Es decir, si x es un ordinal y consideramos la relación de pertenencia, definida entre los elementos de x, entonces x resulta ser bien ordenado por esa relación. Veamos cómo esta definición nos permite ir obteniendo, uno tras otro, los sucesivos ordinales 0, 1, 2, 3,...:
Supongamos que x es un ordinal. Si x es 0 entonces está al comienzo de la secuencia. Veamos que si no es 0 entonces es mayor o igual que 1 (es decir, o es igual a 1 o el 1 es elemento de x, recordemos que aquí "menor" equivale a "pertenece").
Supongamos que x es no vacío, como es bien ordenado por la relación de pertenencia entonces tiene un mínimo. Sea y esa mínimo. Como x es completo e y es un elemento de x entonces y es un subconjunto de x.
Supongamos que y fuera no vacío, existiría en consecuencia algún z tal que z pertenece a y.
Entonces: z pertenece a x (porque pertenece a y, que es subconjunto de x), pero también pertenece a y, es decir "es menor que y", pero y el mínimo de x (no puede haber elementos menores que él). Esto es un absurdo, luego z no puede existir. Es decir, y = 0.
En resumen, si x es un ordinal no vacío entonces 0 pertenece a x. En otras palabras, x es mayor que 0 y {0} = 1 es un subconjunto de x.
Ahora bien, x podría ser el 1, o no. Si x es 1, entonces sigue al 0 en la secuencia de ordinales.
Si x no es 1 tomamos el mínimo de x - {0} y un razonamiento similar al anterior nos permitirá probar que, en ese caso, si x es mayor o igual que 2. Ahora bien, si x no es 2, un razonamiento similar nos permitirá probar que es mayor o igual que 3. Etc.
En la próxima parte veremos cómo esta definición conjuntista de los ordinales nos permite evitar la paradoja de Burali-Forti.
El Omegón y todo eso... (Parte 13)
(A la parte 12 – A la parte 14)
Los ordinales, hoy
Como decíamos ayer, la teoría de conjuntos (en particular, la teoría de los ordinales), tal como fue planteada por Georg Cantor , resultó ser inconsistente (1). Esto quedó demostrado por la existencia de la paradoja del mayor ordinal posible (la mal llamada Paradoja de Burali-Forti, discutida en el capítulo anterior) y también por la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.
Los ordinales, hoy
Como decíamos ayer, la teoría de conjuntos (en particular, la teoría de los ordinales), tal como fue planteada por Georg Cantor , resultó ser inconsistente (1). Esto quedó demostrado por la existencia de la paradoja del mayor ordinal posible (la mal llamada Paradoja de Burali-Forti, discutida en el capítulo anterior) y también por la paradoja de Russell del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos.
Cantor intentó solucionar estos problemas mediante un argumento filosófico-teológico según el cual existen dos niveles de infinitud: el nivel transfinito y el nivel de la infinitud absoluta. El primero, según Cantor, es el único accesible a la mente humana. Cantor aseguraba que toda su teoría de ordinales y cardinales se enmarcaba en este nivel.
Por el contrario, decía Cantor, la comprensión del nivel absoluto estaba sólo reservada a Dios y era inaccesible al ser humano. En este nivel se encontraban conceptos tales como "el conjunto de todos los conjuntos" y "el mayor de todos los ordinales". Las paradojas que se derivan de estos conceptos, siempre según Cantor, sólo son aparentes y resultan ser el fruto de nuestras propias limitaciones (2).
Esta "explicación", además, calmaba los escrúpulos religiosos de Cantor. Como ya dijimos antes, hasta el siglo XIX muchos teólogos consideraban que el infinito era un concepto esencialmente divino y que pretender comprenderlo constituía una herejía. Cantor, quien era profundamente religioso, estuvo durante mucho tiempo muy incómodo con la idea de ser un hereje. La concepción de que, después de todo, habría un parte del infinito inaccesible a la mente humana lo reconciliaba de alguna manera consigo mismo.
La verdad es que esta explicación filosófico-teológica no convenció a ningún matemático, ni siquiera a los dos más grandes defensores de Cantor, David Hilbert y Richard Dedekind, y es así como los problemas de la teoría de Cantor quedaron sin resolver durante varios años (en la década de 1920 David Hilbert todavía planteaba la comprensión del infinito como uno de los mayores desafíos para el honor de espíritu humano).
En los primeros años del siglo XX Bertrand Russell intentó una solución mediante una reformulación de las reglas del lenguaje lógico-matemático que, de ser aplicadas, se suponía, eliminarían todas las paradojas conocidas hasta ese momento. Lamentablemente, por razones demasiado extensas para explicarlas aquí, la idea de Russell falló.
La solución (al menos la solución hasta ahora aceptada) provino del enfoque axiomático y consistió específicamente en el planteo de una teoría axiomática de conjuntos. En realidad, decir "una" teoría de conjuntos es inexacto. Aunque la teoría más "popular" entre los matemáticos es la llamada teoría de Zermelo-Fraenkel, se han propuesto muchas teorías de conjuntos, no todas equivalentes entre sí.
Mi intención es desarrollar a continuación algunos de los puntos principales de la llamada teoría de conjuntos de Morse-Kelley, haciendo especial hincapié en la definición de los ordinales y en cómo se eliminan las paradojas que aparecen en la teoría de Cantor. (Al hablar de los ordinales, me basaré en la exposición que se hace en el apéndice del libro de John L. Kelley, Topología General, Eudeba, Buenos Aires, 1975.) Aunque hablaré de la teoría de Morse-Kelley, casi todo lo que diré (tal vez todo) es común a casi todas (tal vez a todas) las teorías de conjuntos existentes actualmente.
Para comenzar, digamos que todas las teorías de conjuntos actuales eliminan las paradojas (por ejemplo la de Russell o la de Burali-Forti) mediante un truco de lenguaje que (curiosamente, o no) tiene reminiscencias de la explicación filosófico-teológica de Cantor. El truco consiste esencialmente en hacer una distinción entre clases y conjuntos.
A toda propiedad (entendamos la palabra "propiedad" en su sentido intuitivo) le corresponde una clase: la clase de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Ahora bien, antes de continuar es importante decir que en casi todas las teorías de conjuntos actuales todos los objetos de la teoría son clases. Es decir, la distinción "tradicional" entre clases y elementos no existe. Insisto, todas son clases, sólo que algunas clases son elementos de otras clases más grandes.
Por ejemplo, en la teoría de Morse-Kelley el número 0 se define como la clase vacía (que es la clase definida por la propiedad "$x\neq x$"). Observemos que 0 no se define como el cardinal de la clase vacía (como habría hecho Cantor), sino que es esa clase. 0 es un nombre para la clase vacía.
¿Qué es un conjunto? Un conjunto es un caso particular de clase. Una clase es un conjunto si pertenece a una clase más grande. Tenemos entonces que las clases se dividen en dos tipos, por una lado están los conjuntos, que son clases que son miembros (o elementos) de clases más grandes y por otro lado están las clases propias, que no son miembros de clases más grandes. (Cantor, probablemente, hubiera identificado a las primeras con "lo transfinito" y a las segundas con "lo absoluto".) Por ejemplo, la clase universal (la clase que contiene a todo, definida por la propiedad "$x = x$") es una clase propia.
Dijimos antes que a cada propiedad P le corresponde una clase C. La definición dice que:
"$x \in C$ $\Leftrightarrow $ (x cumple P y x es un conjunto)"
¿Cómo sirve esta distinción para evitar, por ejemplo, la paradoja de Russell? En la teoría intuitiva de conjuntos (nombre que actualmente se la da a la teoría de conjuntos de Cantor) a cada propiedad simplemente le corresponde un conjunto. Si a la propiedad P le correspondiera el conjunto C diríamos que:
"$x \in C$ $\Leftrightarrow $ x cumple P"
Tomemos, como hizo Russell, la propiedad "$x\not\in x$" y llamemos R al conjunto que le corresponde. Luego: $x\in R \Leftrightarrow x\not\in x$ .
La teoría intuitiva nos dice que la afirmación anterior es verdadera cualquiera sea el valor que le asignemos a x. Tomemos, por ejemplo, x = R. Tenemos así que la teoría nos dice que es verdad que: $R\in R\Leftrightarrow R\not\in R$ . Pero la lógica elemental nos dice que esta afirmación es ipso facto falsa. La teoría intuitiva de conjuntos nos conduce entonces a una falsedad y es, por lo tanto, contradictoria.
Ahora bien ¿qué diría ante esta situación una teoría moderna de conjuntos? ¿Cómo elude la paradoja? Tomemos la misma propiedad de antes, "$x\not\in x$" y sea R la clase que le corresponde. La definición que da una teoría de conjuntos actual nos dice que, cualquiera sea x, vale que:
"$x\in R$ $\Leftrightarrow $ si ($x\not\in x$ y (x es un conjunto))"
Como antes, tomemos $x = R$. Es verdad entonces que: "$R\in R$ $\Leftrightarrow $ (($R\not\in R$) y (R es un conjunto))"
Y ya no hay paradoja porque esta afirmación no es contradictoria en sí misma. Más aún, del hecho de que esta afirmación es verdad se deduce que R no pertenece a sí misma y que R no es un conjunto. Es decir, R es una clase propia.
Vemos así como las modernas teorías de conjuntos evitan (mediante un truco de lenguaje) la paradoja de Russell. Veremos en la próxima cómo definen los ordinales y cómo evitan (de manera similar) la paradoja de Burali-Forti.
Notas:
(1) En su libro Comprendiendo el Infinito (Fondo de Cultura Económica, México DF, 2005), Shaughan Levine sostiene la tesis de que la teoría de Cantor era consistente y que las contradicciones que se achacan aparecen solamente si se aplica la teoría a situaciones que Cantor no contemplaba (es decir, la teoría es consistente si nos limitamos a lo que Cantor llamaba "lo transfinito"). Sin embargo, creo que Levine se equivoca. La teoría de Cantor es inconsistente. Por supuesto, si ante cada incosistencia nos limitamos a decir "ese caso no lo tomo en cuenta" entonces cualquier teoría (aun la más absurda) puede ser defendida como consistente.
(2) En 1904 Cantor le escribió una carta a Bertrand Russell usando este argumento como intento de refutación de su paradoja del conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. No sabemos si Russell le respondió. (La carta de Cantor está reproducida en el libro citado en la nota anterior.)
Revista Axioma
En este enlace están ya disponibles los números 0 al 6 de Axioma, revista para profesores y estudiantes de matemática. Próximamente estarán también disponibles los números del 7 al 19, que completan la colección de números publicados.