miércoles, 2 de marzo de 2011

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 4)

(A la parte 3 - A la parte 5)

La dialéctica Verdadero / Demostrable

La escuela intuicionista, aquella a la Hilbert se oponía, sostiene, como ya dijimos, que los objetos matemáticos son construidos por los humanos y que no son preexistentes a esta construcción. Para ellos, la Matemática se crea, no se descubre y así, por ejemplo, un número que nunca haya sido calculado simplemente no existe. Por lo tanto los intuicionistas niegan sentido a toda afirmación que hable de totalidades infnitas, ya que necesariamente habla de objetos inexistentes.

Hilbert, en su programa, propone un enfoque más moderado. Por una parte Hilbert habla de afirmaciones finitistas (o finitarias, según algunas traducciones), que son aquellas cuya verdad o falsedad puede ser verficada mecánicamente en una cantidad finita de pasos (por ejemplo, "12 + 3 = 15" o "22 no es primo"). De estas afirmaciones puede decirse, sin problemas, que son verdaderas o falsas, según sea el caso [los propios intuicionistas estarían de acuerdo con esto].

Hilbert admite, por otro lado, que las afirmaciones que se refieren a totalidades infinitas son problemáticas y que no es sencillo atribuirles un valor de verdad. Pero, a diferencia de los intuicionistas, afirma que esa atribución debe hacerse. "Entender el infinito", dice Hilbert, "es un reto al espíritu humano", un reto que debemos afrontar y vencer.

Hilbert hace la siguiente comparación: en Matemáticas, tenemos por un lado las sumas de una cantidad finita de números, que pueden ser calculadas sin problema. Pero, por otro lado, tenemos también las series, que son sumas infinitas. Las series pueden llegar a ser muy problemáticas, sin embargo, gracias a la noción de límite, el Análisis ha podido darles un sentido claro y preciso. De la misma manera, dice Hilbert, la Lógica tiene el desafío de darle un sentido claro y preciso a las afirmaciones no finitistas.

Este sentido se daría a través de la noción de demostrabilidad. Dado un sistema de axiomas, diremos que un enunciado P es demostrable a partir de ellos si existe una demostración (basada en ese sistema de axiomas) cuyo último enunciado es P. [Es decir, si hay una demostración que termina con el enunciado P. La definición metamatemática de demostración la hemos visto en el capítulo anterior.]

El Programa de Hilbert propone, entonces, dar axiomas para la Aritmética de tal modo que, para empezar, todo enunciado finitista verdadero sea demostrable (es lo menos que podemos pedir) y tal que, además, para cualquier otro enunciado P, o bien P, o bien su negación sea demostrable.

Cada enunciado "demostrable" será "verdadero". Es decir, el programa de Hilbert buscaba una síntesis entre los conceptos de demostrabilidad y verdad. Dado que el concepto de demostrabilidad es sintáctico (verificable mecánicamente en una cantidad finita de pasos), obtendríamos una noción de verdad "segura" y libre de posibles paradojas.

Lamentablemente para Hilbert, el primer teorema de Gödel prueba que esto es imposible: en la Aritmética "verdad" y "demostrabilidad" no son equivalentes. Cualesquiera sean los axiomas que se elijan (siempre que cumplan las condiciones metamatemáticas de Hilbert) siempre habrá algún enunciado P tal que tanto él como su negación no son demosrables (por lo que P quedaría fuera de esta definición sintáctica de "verdad").

En su libro La Nueva Mente del Emperador, Roger Penrose dice que no entiende el "menosprecio" que los seguidores de Hilbert sienten por la noción de verdad Matemática, ya que admiten, según Penrose, la posibilidad de que haya enunciados que no son verdaderos ni falsos.

En realidad, Penrose se equivoca al hacer este comentario. Es cierto que si la afirmación P no es demostrable, y tampoco es demostrable su negación, entonces para el Programa de Hilbert P no sería verdadera ni falsa. Pero, en realidad, la idea de Hilbert era dar axiomas de tal modo que esta situación nunca sucediera. Todo enunciado, a través de la definición metamatemática de demostrabilidad, debía ser, en última instancia, verdadero o falso. Fue Gödel quien le aguó la fiesta al probar que siempre habría enunciados indecidibles.

Antes de terminar recapitulemos un poco lo que hemos visto hasta aquí. El Programa de Hilbert proponía dar un sistema de axiomas para la Aritmética que cumpliera estas condiciones:

1. El sistema debía ser recursivo (se debía poder verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no, un axioma).
2. El sistema debía ser consistente (no debía haber un enunciado P tal que él y su negación fueran simultáneamente demostrables, la regla de inferencia es el modus ponens).
3. Todo enunciado finitista verdadero debía ser demostrable (esta es la condición que a veces se enuncia como "Contiene suficiente Aritmética").

4. Para todo enunciado P, o bien P, o bien su negación debía ser demostrable.
5. Debía poder verificarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos que el sistema es consistente.

Como ya dijimos, los teoremas de Gödel prueban que si se cumplen las tres primeras condiciones entonces las dos últimas fallan. A partir del próximo capítulo comentaremos la demostración de estos teoremas y llegaremos, finalmente, a la discusión sobre la autorreferencia.