El ABC de la creación

Tres simples reglas para un pequeño Big Bang
(Ésta es la transcripción de mi charla en el 4º Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

El universo en el que transcurre este pequeño Big Bang es una cinta dividida en casillas todas iguales; es necesario aclarar que la cinta es infinita, en el sentido de que puede ser prolongada indefinidamente por cualquiera de sus dos extremos:

Este universo contiene solamente tres tipos de partículas, a las que llamaremos A, B y C. Una "ley natural" dice que cada casilla puede contener como máximo una partícula.

Hay tres reglas que rigen el modo en el que las partículas son creadas o destruidas. Estas reglas están resumidas en la siguiente imagen:

Regla 1: En dos casillas vacías consecutivas pueden colocarse dos letras iguales (en la imagen se ejemplifica con AA, pero también puede ser BB o CC).

Regla 2: Es la inversa de la anterior; dos letras iguales consecutivas pueden ser borradas (como antes, en la imagen se ejemplifica con AA, pero también puede ser BB o CC):

Reglas 3: Dos letras diferentes consecutivas pueden ser reemplazadas por la tercera letra, es decir, las dos letras se borran y el lugar que ocupaba una de ellas pasa a ser ocupado por la otra letra. En la imagen se ejemplifica el reemplazo de AB por C, pero también vale para reemplazar BA por C, CA por B, AC por B, etc.

Veamos un ejemplo de aplicación de las reglas:

En el ejemplo hemos partido del universo vacío y hemos llegado a la configuración A-espacio-B-espacio-C. Esto se ha conseguido en seis pasos; un "paso" consiste siempre en la aplicación de una de las tres reglas.

En los desafíos se parte de una cierta configuración y se debe llegar a otra, siempre en la menor cantidad posible de pasos. Los desafíos están resumidos en esta imagen:

Desafío (a): Partir del espacio vacío y llegar a ABC (sin espacios intermedios). Se entiende que al terminar la cinta sólo muestra ABC, el resto del universo está vacío. Yo lo logré en 10 pasos, pero la solución no es necesariamente la óptima. De hecho, la noche misma del encuentro Pablo Coll me aseguró que había encontrado una solución en solamente 6 pasos y que después me la enviaría.

Desafío (b): Partir de ABC y llegar a BCA; las tres letras finales no tienen por qué ocupar las mismas casillas que las iniciales. Yo lo logré en 10 pasos, pero la solución no es necesariamente la óptima.

Desafío (c): Partir de ABC y lograr que se vayan formando sucesivamente las otras cinco permutaciones posibles de esas tres letras (ACB, BCA, BAC, CAB y CBA, no necesariamente en ese orden). En su momento, cada permutación debe aparecer sola en la cinta; la cuenta de los pasos termina en el momento en que aparece la sexta permutación (sea cual fuere). Yo lo logré en 23 pasos, la solución tampoco es necesariamente la mejor.

En los dos últimos desafíos, para hacerlos más interesantes, no doy cantidades de pasos:

Desafío (d): Partir de la cinta vacía y llegar a A.

Desafío (e): Partir de A y llegar a B (la B no debe ocupar necesariamente la misma casilla que la A).

Las soluciones que lleguen (por mail o dejadas en los comentarios) serán publicadas aquí mismo, más abajo.

Gracias... ¡y que se diviertan!

Soluciones:
(a) Pablo Rowies dio en los comentarios una solución para el desafío (a) en 8 pasos que Claudio Meller, también en los comentarios, mejora a 6 pasos y Marcos Donnantuoni, a 5:
0 - - - -
1 - - AA
2 AAAA
3 A - - A
4 ABBA
5 ABC

(b) Pablo Rowies da una solución en 8 pasos para el desafío 2 que Claudio Meller mejora a 6 pasos y Marcos Donnantuoni, a 5:
0 ABC -
1 AA - -
2 AAAA
3 A - - A
4 ABBA
5 - CBA

(c) Marcos Donnantuoni y Claudio Meller encuentran soluciones con 25 pasos, tras un estudio informático Marcos aclara que la solución es óptima.
0__________ABC__
1__________ABCBB
2__________ABA_B
3__________AC__B
4__________ACBBB
5__________ACB__ *
6___________BB__
7_________BBBB__
8_________B__B__
9_________BAAB__
10________BAC___ *
11________BB____
12________BBBB__
13________B__B__
14________BCCB__
15________BCA___ *
16______CCBCA___
17______CCB_B___
18______CA__B___
19______CABBB___
20______CAB_____ *
21______CC______
22____CCCC______
23____C__C______
24____CBBC______
25____CBA_______ *

Sólo quedan abiertos los desafíos (d) y (e).

Soluciones óptimas:
Desafío (a): 5 pasos (Marcos Donnantuoni), no puede mejorarse.
Desafío (b): 5 pasos (Marcos Donnantuoni), no puede mejorarse.
Desafío (c): 25 pasos (Claudio Meller y Marcos Donnantuoni), no puede mejorarse.

Gracias por los comentarios en los que se plantean otros desafíos, en breve los incorporaré a una nueva entrada sobre el tema. Por supuesto, también agradezco los comentarios con soluciones, las que corresponde a los nuevos desafíos también aparecerán próximamente en otra entrada sobre este tema.

Éste es el video de la charla.

Arquímedes y el infinito

Arquímedes en la bañera

Durante siglos se creyó que el libro El Método, obra de Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a.C.) estaba irremediablemente perdido. Se sabía, por diversas referencias, que en este libro el autor describía los razonamientos físicos que le habían permitido conjeturar los teoremas geométricos que después demostraba con todo rigor lógico en sus otros libros. Sin embargo, el contenido exacto de la obra permaneció desconocido hasta 1906 cuando, para gran sorpresa de todos, se descubrió en Estambul una copia de la obra. Se trataba en realidad de un palimpsesto, es decir, un códice escrito en pergamino que había sido borrado, por suerte imperfectamente, y reutilizado para escribir un manuscrito diferente. Las técnicas de 1906 permitieron reconstruir una parte de la obra original, pero varios fragmentos no pudieron ser recuperados en aquel momento.

El trabajo recomenzó a principios del siglo XXI, cuando un grupo de expertos, utilizando técnicas modernas de iluminación y de análisis de imágenes, lograron avanzar en el desciframiento de El Método. Parte de lo que descubrieron estos expertos sugiere que Arquímedes trabajó explícitamente con el infinito en acto. La historia está narrada en El Código de Arquímedes, libro de R. Netz y W. Noel. Según estos expertos, para comparar el volumen de dos cuerpos, Arquímedes los suponía cortados en infinitas lonjas de ancho infinitamente pequeño y concluía que ambos volúmenes era iguales porque era posible emparejar las tajadas que formaban uno de ellos con las tajadas que formaban al otro; si estas conclusiones son correctas esto implicaría que Arquímedes trabajó con la comparación entre dos conjuntos infinitos mediante el emparejamiento de sus componentes siglos antes de que Cantor hiciera lo mismo.

Ocean: Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems

Ocean: Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems
Assessing the effect of climate change on upwelling ecosystems is essential to be able to predict the future of marine resources. The zones concerned by this upwelling of cold deep water, which is very rich in nutrients, provide up to 20 % of global production of fish. ...

El ácido sulfhídrico ‘amenaza’ las praderas de Posidonia

La acumulación de ácido sulfhídrico en el fondo marino es uno de los factores que más amenazan la supervivencia de Posidonia oceanica, una especie endémica del Mediterráneo. Así lo ha constatado un equipo con participación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) que ha estudiado durante ocho años las praderas que forma esta planta en las Islas Baleares. Los resultados, publicados en la revista Global Change Biology, determinan que el aumento de la temperatura máxima de la superficie del mar está relacionado con un mayor estrés de la especie por sulfhídrico. Según los científicos, el aumento de la temperatura promueve la descomposición de la materia orgánica y, por tanto, la acumulación de ácido en los sedimentos en condiciones de falta de oxígeno. Simultáneamente, el aumento de la temperatura intensifica la respiración de la planta y, por tanto, su capacidad para mantener los tejidos oxigenados. El sulfhídrico puede entonces penetrar en la planta a través de las raíces y llegar a causar un estrés tóxico y, en algunos casos, la muerte. “Se sabe que la Posidonia  es muy vulnerable al ácido sulfhídrico, incluso aunque las concentraciones sean bajas. Un aporte importante de materia orgánica resultado de la contaminación humana afectará a la supervivencia de esta especie”, destaca Rosa García, investigadora del CSIC en el Instituto Mediterráneo de Estudios Avanzados, mixto del CSIC y la Universidad de las Islas Baleares. Los investigadores han medido las tasas netas de crecimiento de la población en cada pradera y el isótopo estable de azufre, indicador de la acumulación del sulfhídrico, en muestras de hojas, sedimento y agua. “Con estos parámetros hemos calculado el porcentaje de azufre presente en la planta que proviene del ácido sulfhídrico acumulado en el sedimento. Además, hemos utilizado el isótopo de azufre como indicador de toxicidad en las hojas. También hemos relacionado los datos de azufre con una serie temporal de temperaturas máximas anuales del agua del mar recopiladapara las diferentes islas, la profundidad de las praderas y las tasas de crecimiento”, ha detallado García. Según el estudio, a mayor profundidad las praderas están menos expuestas al estrés por sulfhídrico. No obstante, los científicos prevén que la profundidad no será suficiente para paliar las consecuencias de las temperaturas proyectadas para finales del siglo XXI, incluso aunque se tengan en cuenta escenarios moderados de emisión de gases de efecto invernadero. “Uno de los escenarios modela el estrés por azufre en un gradiente de 40 metros de profundidad a la temperatura máxima estimada en el mar Mediterráneo para finales del siglo XXI. El modelo predice que las praderas de Posidonia estarían afectadas por el estrés por sulfhídrico hasta los 40 metros de profundidad,  exacerbando así el declive de la especie y comprometiendo su supervivencia”, agrega la investigadora del CSIC. Una especie desprotegida Desde principios del siglo XX, entre el 5% y el 20% del área cubierta por Posidonia oceanica se ha perdido debido principalmente al impacto humano. El calentamiento global ha emergido en los últimos años como una amenaza para esta especie de crecimiento extremadamente lento y con una longevidad milenaria. En Baleares, las plantas que pueblan los fondos marinos se encuentran actualmente en regresión, no sólo por el calentamiento del agua, sino también por perturbaciones locales como la contaminación o los anclajes de las embarcaciones. Estudios previos han revelado que la densidad de la especie podría disminuir un 90% a mediados de este siglo debido al calentamiento del agua superficial del mar Mediterráneo. Entre los beneficios ecosistémicos que podrían llegar a desaparecer, destaca el enterramiento de dióxido de carbono, el reciclado de nutrientes, la protección costera de la erosión y el aumento de la biodiversidad. Referencia Bibliogáfica Rosa García, Marianne Holmer, Carlos M. Duarte, Núria Marbà. Global warming enhances sulphide stress in a key seagrass species (NW Mediterranean). Global Change Biology. DOI: 10.1111/gcb.12377

Los números normales y la aritmética

Los números normales en base 10 son aquellos números reales cuyos dígitos se comportan esencialmente como si hubieran sido generados aleatoriamente (una definición más rigurosa puede verse en este enlace). Una característica que será importante para nosotros en esta entrada es que cualquier secuencia finita de dígitos aparece al menos una vez (infinitas veces en realidad) en la escritura decimal de cualquier número normal. Por otra parte, como es casi evidente, esta definición puede generalizarse y es así como se dice que un número real es normal si cumple la definición anterior para cualquier base b.

Aunque puede probarse que existen infinitos números normales (de hecho, en cierto modo existen "más" números normales que los que no lo son) hay muy poco números de los que se haya podido probarcon certeza que son normales. Se conjetura, aunque aún no se ha podido probar, que números como pi, e o la raíz cuadrada de 2 son normales.

En lo que sigue vamos a suponer que si a es un entero positivo que no es potencia de 10 entonces log(a), el logaritmo en base 10 de a, es normal en base 10. Hasta donde conozco, este hecho no ha sido tampoco demostrado, sin embargo creo que se trata de una suposición que cualquier matemático aceptaría como altamente razonable. Hecha esta suposición, la intención es demostrar que si a no es una potencia de 10 entonces, dada cualquier secuencia finita de dígitos, existe siempre una potencia de a que comienza con esa secuencia. Por citar un ejemplo al azar, existe una potencia de 2 que comienza con 999.

Comencemos por observar que si x e y son números reales entonces existe un número racional q con expresión decimal finita tal que cualquier número real que comience con las cifras de q estará comprendido entre x e y. No es difícil hacer la demostración formal, pero sólo lo mostraré con un ejemplo: si x = 2,34679098867.... (no importa qué cifras sigan) e y = 2,346800.... (ídem) entonces podemos tomar q = 2,346791; es claro que cualquier número que comience con 2,346791... estará comprendido entre x e y.

Vamos a probar ahora que si a no es una potencia de 10 y M es un entero positivo entonces existe una potencia de a que comienza exactamente con los dígitos de M. Pero no vamos a probarlo en general, sino que vamos a probar que existe una potencia de 2 que comienza con 999, será claro que el método que usaremos puede reproducirse para cualquier a y cualquier M.

Tomamos x = log(M) = log(999) = 2,9995654... e y = log(M + 1) = log(1000) = 3; buscamos a continuación un número q como el que describimos más arriba. En este caso podemos tomar q = 2,999566. Es claro que todo número que comience con 2,999566... estará comprendido entre log(M) y log(M + 1).

Dentro de la escritura de log(a) = log(2) buscamos los dígitos que aparecen en q (es decir, 2999566). En nuestro ejemplo podemos hallarlos rápidamente ya que log(2) = 0,30102999566... Multiplicamos entonces log(a) por una potencia de 10 conveniente como para lograr que la coma decimal quede ubicada en la misma posición que en el número q, en este caso la potencia es 100.000:

En consecuencia:

Por lo tanto, 2 elevado a la 100.000 tiene 30.104 cifras que comienzan con 999. Es claro que lo mismo puede hacerse con cualquier número a que no sea potencia de 10 y cualquier número M.

De hecho, si suponemos que toda vez que a no es potencia de b entonces el logaritmo en base b de a es normal, podemos también probar que si M es cualquier entero escrito en base b y a no es potencia de b entonces existe una potencia de a cuya escritura en base b comienza con M.

Una cita sobre Cantor

Georg Cantor

El 16 de diciembre de 1899 muere Rudolf Cantor, de 13 años de edad, hijo menor de Georg Cantor. Georg nunca podrá recuperarse de esta terrible pérdida, que le desencadenará un grave trastorno mental a consecuencia del cual, en los años sucesivos, deberá ser hospitalizado varias veces en una clínica psiquiátrica de Halle (ciudad alemana donde vivía desde 1869). Su sobrina Alice Guttmann, que en distintos años pasó muchas semanas en casa de los Cantor, recordaría tiempo después:

Mi tío permanecía encerrado en su cuarto de estudio, enormemente grande, cuyas cuatro paredes estaban todas cubiertas de libros desde el suelo hasta el techo. Allí parecía vivir su vida, para sí mismo, aislado en sus propios planetas, desconocido para el resto de nosotros. Por más que me hubiera gustado conocerle de verdad, él nunca estaba visible. En casa de mis padres pude escuchar una y otra vez comentarios que indicaban cómo mi padre (su cuñado) tenía en muy alto el carácter de mi tío, su pureza y su bondad, y cómo le impresionaba enormemente su grandeza de espíritu. Mi padre parecía divinizar a mi tío. También se hablaba de sus ausencias periódicas, durante días, del hogar propio en Halle, el cual abandonaba repentinamente y «de su propio pie», por así decir. Luego era llevado a un hospital y más tarde volvía a casa y todo parecía volver a tomar su camino usual; hasta la próxima vez. Me hice una imagen de sus estados de ánimo sobreexcitados, exaltados, pero no querría emitir un juicio al respecto, y en realidad no podría.  

[La cita final es de: CANTOR, Georg, Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta), edición de José Ferreirós; Barcelona, Crítica, 2006.]

El volcán submarino Tamu cerca de Japón es el más grande del mundo

Científicos de la Universidad de Houston, en Estados Unidos, han podido confirmar por fin que el Macizo submarino Tamu, situado a 1.600 kilómetros al este de Japón, es el mayor volcán del mundo y uno de los más grandes del Sistema Solar. Tiene 310.000 kilómetros cuadrados de superficie, y su base se encuentra a 6 kilómetros de profundidad.

Macizo Tamu, volcán submarino al este de Japón. Fuente: UH.

Un profesor de la Universidad de Houston (UH), en Estados Unidos, ha dirigido a un equipo de científicos en las labores de identificación del mayor volcán de nuestro planeta, aún no documentado en la Tierra.
Con una superficie equivalente a las Islas Británicas o el estado de Nuevo México, este volcán, conocido como Tamu Massif (Macizo de Tamu), es casi tan grande como los volcanes gigantes de Marte, y se sitúa entre los más grandes del Sistema Solar.

William Sager, profesor en el Departamento de Ciencias Terrestres y Atmosféricas de la UH, comenzó estudiando el volcán hace unos 20 años en la Facultad de Ciencias de la Tierra de la Texas A&M. Los hallazgos de Sager y su equipo aparecerán en la edición del 8 de septiembre de la revista Nature Geoscience, la revista multidisciplinaria mensual que refleja disciplinas dentro de las ciencias de la Tierra.

Bathymetry of Shatsky Rise showing the world’s largest volcano, Tamu Massif, at its southern end. A shadow basal contour of Mars’ Olympus Mons appears in the lower right corner of the image for comparison. Image credit: Willam Sager, University of Houston.


Situado a unos 1.000 kilómetros al este de Japón, Tamu Massif es la característica más grande de Shatsky, una cordillera submarina formada entre 130 a 145 millones años atrás por la erupción de varios volcanes submarinos. Hasta ahora, no estaba claro si Tamu Massif era un solo volcán, o un compuesto de muchos puntos de erupción. Mediante la integración de varias fuentes de evidencia, incluyendo muestras del núcleo y los datos recogidos a bordo del buque de investigación JOIDES Resolution, los autores han confirmado que la masa de basalto que constituye Tamu Massif, efectivamente, es de la erupción desde una sola fuente cerca del centro.

"Tamu Massif es el mayor volcán solitario de escudo que se haya descubierto en la Tierra", dijo Sager. "Puede haber volcanes más grandes, porque hay grandes características ígneas por ahí, como la Meseta Ontong en Java, pero no sabemos si estas características son un volcán o volcanes complejos".

Tamu Massif se destaca entre los volcanes submarinos no sólo por su tamaño, sino también por su forma. Es baja y ancha, lo que significa que los flujos de lava de la erupción deben haber viajado largas distancias en comparación con la mayoría de los volcanes de la Tierra. El fondo del mar está salpicado de miles de volcanes submarinos, o montes submarinos, la mayoría de ellos son pequeños comparados con la amplia extensión del Tamu Massif.

"No es alto, pero muy amplio, por lo que sus laderas tienen pendientes muy graduales", dijo Sager. "De hecho, si estuviéramos de pie en su flanco, tendríamos problemas para distinguir qué camino es cuesta abajo. Sabemos que se trata de un inmenso volcán solitario construido a partir de los flujos masivos de lava que emanaban desde el centro del volcán para formar una gran forma de escudo. Hasta ahora, no sabemos porque esas mesetas oceánicas son grandes rasgos ocultos bajo el mar y han encontrado un buen lugar para esconderse".

Tamu Massif tiene una superficie de unos 120.000 kilómetros cuadrados. En comparación, el Mauna Loa de Hawaii - el volcán activo más grande de la Tierra - es de aproximadamente 2.000 millas cuadradas, o aproximadamente el 2 por ciento del tamaño de Tamu Massif. Para encontrar una comparación digna, hay que mirar hacia el cielo al planeta Marte, donde se encuentra el Monte Olimpo. Ese volcán gigante, que es visible en una noche clara con un buen telescopio de aficionado, es sólo un 25 por ciento más grande en volumen que el Tamu Massif.

El estudio se basa en dos fuentes distintas, pero complementarias, de pruebas - muestras de núcleos recogidos en el Programa Integrado de Perforación Oceánica (IODP) durante la Expedición 324 (Formación Rise Shatsky) en 2009, y los datos de reflexión sísmica que se reunieron en dos expediciones distintas del R/V Marcus G. Langseth en 2010 y 2012. Las muestras de núcleos, perforados desde varios lugares en Tamu Massif, mostraron que los flujos de lava tenían hasta 75 pies de espesor, lo que caracterizan a este volcán. Los datos sísmicos de los cruceros del R/V Langseth revelaron la estructura del volcán, lo que confirma que los flujos de lava emanaban de su cumbre y fluyeron a cientos de kilómetros descendiendo en las cuencas adyacentes.

Según Sager, Tamu Massif se cree que tiene alrededor de 145 millones de años, y se hizo inactivo dentro de unos pocos millones de años después de su nacimiento. Su cima se encuentra a unos 6.500 pies bajo la superficie del océano, mientras que gran parte de su base se cree que está en aguas que tienen casi cuatro millas de profundidad.

"Su forma es diferente de cualquier otro volcán submarino que se encuentra en la Tierra, y es muy posible que nos pueda dar algunas pistas sobre cómo se pueden formar estos enormes volcanes", dijo Sager. "Una inmensa cantidad de magma vino del centro y este magma tenía que haber venido de la capa de tierra. Así que esta es una información importante para los geólogos que tratan de entender cómo funciona el interior de la Tierra".

El proyecto fue financiado por la National Science Foundation, tanto a través de subvenciones directas y por medio de su Programa Integrado de Perforación Oceánica, un programa de investigación internacional dedicada al avance del conocimiento científico de la Tierra a través de la perforación, extracción de muestras y el control de la planta submarina.

Artículo científico: 

An immense shield volcano within the Shatsky Rise oceanic plateau, northwest Pacific Ocean

 http://www.nature.com/ngeo/journal/vaop/ncurrent/full/ngeo1934.html